Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2057

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Доказать, что

\int\frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^n}=\frac{A\sin x+B\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+C\int\frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}},

где

A

B

C

--- неопределённые коэффициенты.

Доказано:

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^n} &=\dfrac{A\sin x+B\cos x} {(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+C\int\dfrac{dx} {(a\sin x+b\cos x)^{n-2}},\end{aligned}

где

A=\dfrac{b}{(n-1)(a^2+b^2)}, \qquad B=-\dfrac{a}{(n-1)(a^2+b^2)}, \qquad C=\dfrac{n-2}{(n-1)(a^2+b^2)}

Формула справедлива при

n\in\mathbb N

n>1

a^2+b^2>0

на каждом промежутке, где

a\sin x+b\cos x\ne0

Доказательство

Пусть

n\in\mathbb N

n>1

. Обозначим

D=a\sin x+b\cos x, \qquad a^2+b^2>0, \qquad D\ne0

Также положим

E=b\sin x-a\cos x

Тогда

D'=-E, \qquad E'=D, \qquad D^2+E^2=a^2+b^2

Вычислим производную:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{E}{D^{n-1}}\right) &=\dfrac{E'}{D^{n-1}} -(n-1)\dfrac{ED'}{D^n}=\\ &=\dfrac{1}{D^{n-2}} +(n-1)\dfrac{E^2}{D^n}=\\ &=(n-1)\dfrac{a^2+b^2}{D^n} -(n-2)\dfrac{1}{D^{n-2}}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{1}{D^n} &=\dfrac{1}{(n-1)(a^2+b^2)} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{E}{D^{n-1}}\right)+\dfrac{n-2}{(n-1)(a^2+b^2)} \dfrac{1}{D^{n-2}}\end{aligned}

Интегрируя, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^n} &=\dfrac{b\sin x-a\cos x} {(n-1)(a^2+b^2)(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+\\ &\quad+\dfrac{n-2}{(n-1)(a^2+b^2)} \int\dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}}\end{aligned}

Это имеет требуемый вид.

Что и требовалось доказать