Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2041

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2041

Найти интеграл∫dxasin⁡x+bcos⁡x,\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x},приведя знаменатель к логарифмическому виду.
Ответ:При a2+b2>0a^2+b^2>0 выберем φ\varphi из условийcos⁡φ=aa2+b2,sin⁡φ=ba2+b2.\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},
\qquad
\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.Тогда на каждом промежутке, где asin⁡x+bcos⁡x≠0a\sin x+b\cos x\ne0,1a2+b2ln⁡∣tg⁡x+φ2∣+C.\dfrac1{\sqrt{a^2+b^2}}
\ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C.При a=b=0a=b=0 подынтегральное выражение не определено.

Решение

Пусть a2+b2>0a^2+b^2>0. Выберем угол φ\varphi так, чтобыcos⁡φ=aa2+b2,sin⁡φ=ba2+b2.\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},
\qquad
\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.Тогдаasin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ).a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi).На каждом промежутке, где знаменатель не обращается в нуль, получаемI=1a2+b2∫d(x+φ)sin⁡(x+φ)==1a2+b2ln⁡∣tg⁡x+φ2∣+C.\begin{aligned}
I
&=\dfrac1{\sqrt{a^2+b^2}}
\int\dfrac{d(x+\varphi)}{\sin(x+\varphi)}=\\
&=\dfrac1{\sqrt{a^2+b^2}}
\ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C.
\end{aligned}При a=b=0a=b=0 исходное подынтегральное выражение не определено.
Демидович № 2041 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика