Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2050

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Доказать, что

\begin{aligned}\int\frac{a_1\sin^2x+2b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2x}{a\sin x+b\cos x}\,dx&=A\sin x+B\cos x\\&\quad+C\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x},\end{aligned}

где

A

B

C

--- постоянные коэффициенты.

Доказано:Утверждение доказано при

a^2+b^2>0

, причём

A=\dfrac{b(c_1-a_1)+2ab_1}{a^2+b^2},\\ B=\dfrac{a(c_1-a_1)-2bb_1}{a^2+b^2},\\ C=\dfrac{a^2c_1+b^2a_1-2abb_1}{a^2+b^2}

Формула рассматривается на каждом отдельном промежутке, где

a\sin x+b\cos x\ne0

; на разных промежутках постоянная

C_0

может принимать независимые значения.

Доказательство

Пусть

D=a\sin x+b\cos x, \qquad a^2+b^2>0

Чтобы доказать требуемую формулу, ищем постоянные

A

B

C

из тождества

\begin{aligned} &a_1\sin^2 x+2b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2 x=\\ &=(A\cos x-B\sin x)D+C\end{aligned}

Так как

C=C(\sin^2 x+\cos^2 x)

, правая часть равна

\begin{aligned} &(-aB+C)\sin^2 x +(aA-bB)\sin x\cos x +(bA+C)\cos^2 x\end{aligned}

Следовательно, коэффициенты должны удовлетворять системе

\begin{cases} -aB+C=a_1\\ aA-bB=2b_1\\ bA+C=c_1 \end{cases}

Вычитая первое уравнение из третьего, получаем

bA+aB=c_1-a_1

Вместе со вторым уравнением это даёт

\begin{cases} bA+aB=c_1-a_1\\ aA-bB=2b_1 \end{cases}

Определитель этой системы относительно

A

B

равен

\begin{vmatrix} b & a\\ a & -b \end{vmatrix} =-(a^2+b^2)\ne0

поэтому решение единственно.

Отсюда

A=\dfrac{b(c_1-a_1)+2ab_1}{a^2+b^2}

B=\dfrac{a(c_1-a_1)-2bb_1}{a^2+b^2}

а затем

C=a_1+aB =\dfrac{a^2c_1+b^2a_1-2abb_1}{a^2+b^2}

На промежутке, где

D\ne0

, делим исходное тождество на

D

\begin{aligned} &\dfrac{a_1\sin^2 x+2b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2 x}{D}=\\ &=A\cos x-B\sin x+\dfrac{C}{D}\end{aligned}

После интегрирования получаем

\begin{aligned} &\int\dfrac{a_1\sin^2 x+2b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2 x} {a\sin x+b\cos x}\,dx=\\ &=A\sin x+B\cos x +C\int\dfrac{dx}{a\sin x+b\cos x}+C_0\end{aligned}

Тем самым требуемое представление доказано.

Что и требовалось доказать