Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2060

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin x\,dx}{\cos x\sqrt{1+\sin^2x}}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{\sqrt2+\sqrt{1+\sin^2x}} {\sqrt2-\sqrt{1+\sin^2x}}+C, &\qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Поскольку

1+\sin^2x>0

, область определения задаётся условием

\cos x\ne0, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z

Положим

u=\sin x, \qquad du=\cos x\,dx

Тогда

dx=\dfrac{du}{\cos x}, \qquad \cos^2x=1-u^2

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin x\,dx} {\cos x\sqrt{1+\sin^2x}} &=\int\dfrac{u\,du} {(1-u^2)\sqrt{1+u^2}}\end{aligned}

Сделаем вторую замену

v=\sqrt{1+u^2}, \qquad dv=\dfrac{u\,du}{\sqrt{1+u^2}}

Так как

u^2=v^2-1

, имеем

1-u^2=2-v^2

На области определения

\cos x\ne0

, поэтому

|u|=|\sin x|<1

. Следовательно,

1\leqslant v=\sqrt{1+u^2}<\sqrt2,

откуда

\sqrt2+v>0

\sqrt2-v>0

. Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{u\,du} {(1-u^2)\sqrt{1+u^2}} &=\int\dfrac{dv}{2-v^2}=\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{\sqrt2+v}{\sqrt2-v}+C\end{aligned}

Возвращаясь к

x

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin x\,dx} {\cos x\sqrt{1+\sin^2x}} &=\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{\sqrt2+\sqrt{1+\sin^2x}} {\sqrt2-\sqrt{1+\sin^2x}}+C\end{aligned}