Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2051

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2051

∫sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x}{\sin x+\cos x}\,dx.
Ответ:−sin⁡x+3cos⁡x+22ln⁡∣tg⁡(x2+π8)∣+C,x≠−π4+πk,k∈Z\begin{aligned}
&-\sin x+3\cos x
+2\sqrt2
\ln\left|\tg\left(
\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}
\right)\right|+C,
&\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,
\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена приsin⁡x+cos⁡x≠0,x≠−π4+πk,k∈Z\sin x+\cos x\ne0,
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,
\quad k\in\mathbb ZПредставим подынтегральную функцию в видеsin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x==Acos⁡x−Bsin⁡x+Csin⁡x+cos⁡x\begin{aligned}
&\dfrac{\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x}
{\sin x+\cos x}=\\
&\qquad=
A\cos x-B\sin x+\dfrac{C}{\sin x+\cos x}
\end{aligned}После умножения на sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x используем тождество 1=sin⁡2x+cos⁡2x1=\sin^2x+\cos^2x, чтобы записать постоянное слагаемое как C=Csin⁡2x+Ccos⁡2xC=C\sin^2x+C\cos^2x и затем сравнить коэффициенты при одинаковых тригонометрических выражениях:sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x=(Acos⁡x−Bsin⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)+C==(C−B)sin⁡2x+(A−B)sin⁡xcos⁡x+(A+C)cos⁡2x\begin{aligned}
\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x
&=(A\cos x-B\sin x)(\sin x+\cos x)+C=\\
&=(C-B)\sin^2x+(A-B)\sin x\cos x+(A+C)\cos^2x
\end{aligned}Следовательно,{C−B=1A−B=−4A+C=3\begin{cases}
C-B=1\\
A-B=-4\\
A+C=3
\end{cases}ОтсюдаA=−1,B=3,C=4A=-1,
\qquad
B=3,
\qquad
C=4Поэтому∫sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x dx=−sin⁡x+3cos⁡x+4∫dxsin⁡x+cos⁡x\begin{aligned}
\int
\dfrac{\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x}
{\sin x+\cos x}\,dx
&=-\sin x+3\cos x
+4\int\dfrac{dx}{\sin x+\cos x}
\end{aligned}Положим y=x+π4y=x+\dfrac{\pi}{4}. Тогдаsin⁡x+cos⁡x=2sin⁡y\sin x+\cos x=\sqrt2\sin yВычислим производную:ddyln⁡∣tg⁡y2∣=1tg⁡y212cos⁡2y2=1sin⁡y\begin{aligned}
\dfrac{d}{dy}\ln\left|\tg\dfrac{y}{2}\right|
&=\dfrac{1}{\tg\frac{y}{2}}
\dfrac{1}{2\cos^2\frac{y}{2}}
=\dfrac{1}{\sin y}
\end{aligned}Следовательно,∫dxsin⁡x+cos⁡x=12ln⁡∣tg⁡(x2+π8)∣+C\int\dfrac{dx}{\sin x+\cos x}
=\dfrac{1}{\sqrt2}
\ln\left|\tg\left(
\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}
\right)\right|+CОкончательно получаем∫sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x dx=−sin⁡x+3cos⁡x+22ln⁡∣tg⁡(x2+π8)∣+C\begin{aligned}
\int
\dfrac{\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x}
{\sin x+\cos x}\,dx
&=-\sin x+3\cos x+2\sqrt2
\ln\left|\tg\left(
\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}
\right)\right|+C
\end{aligned}
Демидович № 2051 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика