Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2049

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{2\sin x+\cos x}{3\sin x+4\cos x-2}\,dx

Ответ:

\frac{2}{5}x - \frac{1}{5} \ln|3\sin x + 4\cos x - 2| -\frac{4}{5\sqrt{21}} \ln \left| \frac{6\tg \left(\frac{x}{2}\right) - 3 - \sqrt{21}}{6\tg \left(\frac{x}{2}\right) - 3 + \sqrt{21}} \right|+C

Решение

С учетом того, что интегралы данного вида в общем случае были разобраны в задаче 2046, остается только найти коэффициенты

A, B

C

. Запишем наши входные данные:

a_1 = 2, \; b_1 = 1, \; c_1 = 0, \quad a = 3, \; b = 4, \; c = -2

Тогда:

A = \frac{aa_1 + bb_1}{a^2 + b^2} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}{3^2 + 4^2} = \frac{6 + 4}{9 + 16} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

B = \frac{ab_1 - a_1b}{a^2 + b^2} = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot 4}{3^2 + 4^2} = \frac{3 - 8}{25} = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}

C = c_1 - cA = 0 - (-2) \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Интеграл примет вид:

\int \frac{2\sin x + \cos x}{3\sin x + 4\cos x - 2} \, dx = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5} \ln|3\sin x + 4\cos x - 2| + \frac{4}{5} \int \frac{dx}{3\sin x + 4\cos x - 2}

Для получения ответа остается только решить последний интеграл. С этой целью воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой

t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)

. Имеем:

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt

Интеграл после всех упрощений будет следующим:

\int \frac{2}{-6t^2 + 6t + 2} \, dt

Остается только выделить полный квадрат, чтобы свести задачу к нахождению табличного интеграла:

\int \frac{2}{-6t^2 + 6t + 2} \, dt = \int \frac{dt}{-3t^2 + 3t + 1} = -\frac{1}{3} \int \frac{dt}{\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{12}} = -\frac{1}{\sqrt{21}} \ln \left| \frac{6t - 3 - \sqrt{21}}{6t - 3 + \sqrt{21}} \right|+C

Теперь нужно лишь выполнить обратную замену

t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)

и собрать все воедино.