Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2054

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2054

∫2sin⁡x−cos⁡x3sin⁡2x+4cos⁡2x dx\displaystyle\int\frac{2\sin x-\cos x}{3\sin^2x+4\cos^2x}\,dx.
Ответ:−23arctg⁡cos⁡x3−14ln⁡2+sin⁡x2−sin⁡x+C,x∈R-\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\cos x}{\sqrt3}
-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{2+\sin x}{2-\sin x}+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Знаменатель положителен при всех xx:3sin⁡2x+4cos⁡2x=3+cos⁡2x>03\sin^2x+4\cos^2x
=3+\cos^2x>0Разделим интеграл на два:∫2sin⁡x−cos⁡x3sin⁡2x+4cos⁡2x dx=2∫sin⁡x dx3sin⁡2x+4cos⁡2x−∫cos⁡x dx3sin⁡2x+4cos⁡2x\begin{aligned}
\int\dfrac{2\sin x-\cos x}
{3\sin^2x+4\cos^2x}\,dx
&=2\int\dfrac{\sin x\,dx}
{3\sin^2x+4\cos^2x}-\int\dfrac{\cos x\,dx}
{3\sin^2x+4\cos^2x}
\end{aligned}В первом интеграле положим u=cos⁡xu=\cos x, du=−sin⁡x dxdu=-\sin x\,dx. Тогда3sin⁡2x+4cos⁡2x=3+u23\sin^2x+4\cos^2x=3+u^2и2∫sin⁡x dx3sin⁡2x+4cos⁡2x=−2∫du3+u2==−23arctg⁡u3=−23arctg⁡cos⁡x3\begin{aligned}
2\int\dfrac{\sin x\,dx}
{3\sin^2x+4\cos^2x}
&=-2\int\dfrac{du}{3+u^2}=\\
&=-\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg\dfrac{u}{\sqrt3}=-\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\cos x}{\sqrt3}
\end{aligned}Во втором интеграле положим v=sin⁡xv=\sin x, dv=cos⁡x dxdv=\cos x\,dx. Поскольку −1⩽v⩽1-1\leqslant v\leqslant1, имеем2+v>0,2−v>02+v>0,
\qquad
2-v>0Кроме того,3sin⁡2x+4cos⁡2x=4−v23\sin^2x+4\cos^2x=4-v^2и−∫dv4−v2=−14ln⁡2+v2−v=−14ln⁡2+sin⁡x2−sin⁡x\begin{aligned}
-\int\dfrac{dv}{4-v^2}
&=-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{2+v}{2-v}
=-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{2+\sin x}{2-\sin x}
\end{aligned}Следовательно,∫2sin⁡x−cos⁡x3sin⁡2x+4cos⁡2x dx=−23arctg⁡cos⁡x3−14ln⁡2+sin⁡x2−sin⁡x+C\begin{aligned}
\int\dfrac{2\sin x-\cos x}
{3\sin^2x+4\cos^2x}\,dx
&=-\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\cos x}{\sqrt3}
-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{2+\sin x}{2-\sin x}+C
\end{aligned}
Демидович № 2054 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика