Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2058

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Найти

\displaystyle\int\frac{dx}{(\sin x+2\cos x)^3}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{2\sin x-\cos x} {10(\sin x+2\cos x)^2} +\dfrac{1}{10\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C, &\qquad \varphi=\arctg2, \qquad x\ne-\varphi+\pi k, \quad k\in\mathbb Z\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Положим

\varphi=\arctg2, \qquad \cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt5}, \qquad \sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt5}

По формуле синуса суммы

\begin{aligned} \sqrt5\sin(x+\varphi) &=\sqrt5\bigl(\sin x\cos\varphi +\cos x\sin\varphi\bigr)=\\ &=\sin x+2\cos x\end{aligned}

Поэтому подынтегральная функция определена при

x\ne-\varphi+\pi k, \qquad k\in\mathbb Z

Чтобы понизить степень знаменателя, обозначим

D=\sin x+2\cos x, \qquad E=2\sin x-\cos x

Тогда

D'=-E

E'=D

D^2+E^2=5

. Дифференцируя дробь, получаем

\begin{aligned} \left(\dfrac{E}{10D^2}\right)' &=\dfrac{1}{10D} +\dfrac{E^2}{5D^3}=\\ &=\dfrac{D^2+2E^2}{10D^3} =\dfrac{10-D^2}{10D^3} =\dfrac{1}{D^3}-\dfrac{1}{10D}\end{aligned}

Переносим последнее слагаемое и интегрируем:

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(\sin x+2\cos x)^3} &=\dfrac{2\sin x-\cos x} {10(\sin x+2\cos x)^2} +\dfrac{1}{10} \int\dfrac{dx}{\sin x+2\cos x}\end{aligned}

После замены

y=x+\varphi

имеем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin x+2\cos x} &=\dfrac{1}{\sqrt5} \int\dfrac{dy}{\sin y}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C\end{aligned}

Здесь использовано равенство

\dfrac{d}{dy}\ln\left|\tg\dfrac{y}{2}\right| =\dfrac{1}{\sin y}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(\sin x+2\cos x)^3} &=\dfrac{2\sin x-\cos x} {10(\sin x+2\cos x)^2}+\dfrac{1}{10\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C\end{aligned}