Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2047

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2047

∫sin⁡x+2cos⁡x−3sin⁡x−2cos⁡x+3 dx\displaystyle\int\frac{\sin x+2\cos x-3}{\sin x-2\cos x+3}\,dx.
Ответ:При (2k−1)π<x<(2k+1)π(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi, k∈Zk\in\mathbb Z:−35x+45ln⁡(sin⁡x−2cos⁡x+3)−−65(arctg⁡5tg⁡x2+12+kπ)+C.\begin{aligned}
&-\dfrac35x+\dfrac45\ln(\sin x-2\cos x+3)-\\
&\quad-\dfrac65\left(
\arctg\dfrac{5\tg\frac x2+1}{2}+k\pi
\right)+C.
\end{aligned}В точках x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi первообразная определяется непрерывным продолжением.

Решение

Знаменатель положителен при всех xx:sin⁡x−2cos⁡x+3⩾3−5>0.\sin x-2\cos x+3\geqslant3-\sqrt5>0.Представим числитель в видеsin⁡x+2cos⁡x−3=−35(sin⁡x−2cos⁡x+3)+45(cos⁡x+2sin⁡x)−65.\sin x+2\cos x-3
=-\dfrac35(\sin x-2\cos x+3)
+\dfrac45(\cos x+2\sin x)-\dfrac65.ТогдаI=−35x+45ln⁡(sin⁡x−2cos⁡x+3)−65J,I=-\dfrac35x+\dfrac45\ln(\sin x-2\cos x+3)
-\dfrac65J,гдеJ=∫dxsin⁡x−2cos⁡x+3.J=\int\dfrac{dx}{\sin x-2\cos x+3}.На промежутке (2k−1)π<x<(2k+1)π(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi положим t=tg⁡x2t=\tg\dfrac x2. ПолучаемJ=∫2 dt5t2+2t+1=arctg⁡5t+12+C.J=\int\dfrac{2\,dt}{5t^2+2t+1}
=\arctg\dfrac{5t+1}{2}+C.Поскольку исходная функция непрерывна на R\mathbb R, согласуем ветви:J=arctg⁡5tg⁡x2+12+kπ+C.J=\arctg\dfrac{5\tg\frac x2+1}{2}+k\pi+C.Следовательно,I=−35x+45ln⁡(sin⁡x−2cos⁡x+3)−−65(arctg⁡5tg⁡x2+12+kπ)+C.\begin{aligned}
I={}&-\dfrac35x+\dfrac45\ln(\sin x-2\cos x+3)-\\
&-\dfrac65\left(
\arctg\dfrac{5\tg\frac x2+1}{2}+k\pi
\right)+C.
\end{aligned}В точках x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi формула продолжается по непрерывности.
Демидович № 2047 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика