Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2064

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\cos^{n-1}\frac{x+a}{2}}{\sin^{n+1}\frac{x-a}{2}}\,dx

Ответ:

-\dfrac{2}{n\cos a} \left( \dfrac{\cos\frac{x+a}{2}} {\sin\frac{x-a}{2}} \right)^n+C

Формула справедлива при

n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}

\cos a\ne0

\sin\frac{x-a}{2}\ne0

; на разных промежутках области определения постоянные могут быть различными.

Решение

По условию

\cos a\ne0

. Поскольку

n

— натуральное число, имеем

n\ne0

. Подынтегральная функция определена при

\sin\dfrac{x-a}{2}\ne0

Обозначим

A=\dfrac{x+a}{2}, \qquad B=\dfrac{x-a}{2}

На каждом промежутке области определения применим требуемую в условии подстановку

t=\dfrac{\cos A}{\sin B}

Дифференцируя, получаем

\begin{aligned} dt &=-\dfrac{\sin A\sin B+\cos A\cos B} {2\sin^2B}\,dx =-\dfrac{\cos a}{2\sin^2B}\,dx\end{aligned}

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\cos^{n-1}A}{\sin^{n+1}B}\,dx &=\int t^{n-1}\dfrac{dx}{\sin^2B} =-\dfrac{2}{\cos a}\int t^{n-1}\,dt=\\ &=-\dfrac{2}{n\cos a}t^n+C\end{aligned}