Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2048

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sqrt2+\sin x+\cos x}\,dx

Ответ:

\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln|\sqrt{2} + \sin x + \cos x| + \frac{2+\sqrt{2}}{\tg\left(\frac{x}{2}\right)+\sqrt{2}+1}+C

Решение

С учетом того, что интегралы данного вида в общем случае были разобраны в задаче 2046, остается только найти коэффициенты

A

B

C

. Запишем наши входные данные:

a_1 = 1, \; b_1 = 0, \; c_1 = 0, \quad a = 1, \; b = 1, \; c = \sqrt{2}

Тогда:

A = \frac{aa_1 + bb_1}{a^2 + b^2} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{1^2 + 1^2} = \frac{1}{2}

B = \frac{ab_1 - a_1b}{a^2 + b^2} = \frac{1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{1}{2}

C = c_1 - cA = 0 - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Интеграл примет вид:

\int \frac{\sin x}{\sqrt{2} + \sin x + \cos x} \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln|\sqrt{2} + \sin x + \cos x| - \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{2} + \sin x + \cos x}

Для получения ответа остается только решить последний интеграл. С этой целью воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой

t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)

. Имеем:

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt

Интеграл после всех упрощений будет следующим:

\int \frac{2}{(\sqrt{2}-1)t^2 + 2t + (\sqrt{2}+1)}\,dt

Остается только выделить полный квадрат, чтобы свести задачу к нахождению табличного интеграла:

\int \frac{2}{(\sqrt{2}-1)t^2 + 2t + (\sqrt{2}+1)}\,dt= \int \frac{2(\sqrt{2}+1)}{(t+\sqrt{2}+1)^2}\,dt= -\frac{2(\sqrt{2}+1)}{t+\sqrt{2}+1}+C

Для ответа нужно

t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)

и собрать все воедино.