Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2056

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2056

∫sin⁡x−2cos⁡x1+4sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x-2\cos x}{1+4\sin x\cos x}\,dx.
Ответ:342ln⁡∣2(sin⁡x+cos⁡x)+12(sin⁡x+cos⁡x)−1∣−146ln⁡∣3+2(sin⁡x−cos⁡x)3−2(sin⁡x−cos⁡x)∣+C,x≠−π12+πk,x≠7π12+πk,k∈Z\begin{aligned}
&\dfrac{3}{4\sqrt2}
\ln\left|
\dfrac{\sqrt2(\sin x+\cos x)+1}
{\sqrt2(\sin x+\cos x)-1}
\right|
-\dfrac{1}{4\sqrt6}
\ln\left|
\dfrac{\sqrt3+\sqrt2(\sin x-\cos x)}
{\sqrt3-\sqrt2(\sin x-\cos x)}
\right|+C,
\end{aligned}
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{12}+\pi k,
\quad
x\ne\dfrac{7\pi}{12}+\pi k,
\quad k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Знаменатель обращается в нуль при1+4sin⁡xcos⁡x=1+2sin⁡2x=01+4\sin x\cos x=1+2\sin2x=0То есть область определения задаётся условиямиx≠−π12+πk,x≠7π12+πk,k∈Zx\ne-\dfrac{\pi}{12}+\pi k,
\qquad
x\ne\dfrac{7\pi}{12}+\pi k,
\quad k\in\mathbb ZПоложимu=sin⁡x+cos⁡x,v=sin⁡x−cos⁡xu=\sin x+\cos x,
\qquad
v=\sin x-\cos xТогдаdu=−(sin⁡x−cos⁡x) dxdv=(sin⁡x+cos⁡x) dx\begin{aligned}
du&=-(\sin x-\cos x)\,dx\\
dv&=(\sin x+\cos x)\,dx
\end{aligned}При этом1+4sin⁡xcos⁡x=2u2−1=3−2v2\begin{aligned}
1+4\sin x\cos x
&=2u^2-1
=3-2v^2
\end{aligned}Эти замены превращают знаменатель в квадратный многочлен, а их дифференциалы позволяют разложить числитель. Для этого ищемsin⁡x−2cos⁡x=A(sin⁡x−cos⁡x)+B(sin⁡x+cos⁡x)\sin x-2\cos x
=A(\sin x-\cos x)+B(\sin x+\cos x)Сравнивая коэффициенты при sin⁡x\sin x и cos⁡x\cos x, получаем{A+B=1−A+B=−2A=32,B=−12\begin{cases}
A+B=1\\
-A+B=-2
\end{cases}
\qquad
A=\dfrac{3}{2},\quad B=-\dfrac{1}{2}Поскольку (sin⁡x−cos⁡x) dx=−du(\sin x-\cos x)\,dx=-du, а (sin⁡x+cos⁡x) dx=dv(\sin x+\cos x)\,dx=dv, имеем∫sin⁡x−2cos⁡x1+4sin⁡xcos⁡x dx=−32∫du2u2−1−12∫dv3−2v2\begin{aligned}
\int\dfrac{\sin x-2\cos x}{1+4\sin x\cos x}\,dx
&=-\dfrac{3}{2}\int\dfrac{du}{2u^2-1}
-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dv}{3-2v^2}
\end{aligned}Разложим обе дроби:12u2−1=12(12 u−1−12 u+1)13−2v2=123(13+2 v+13−2 v)\begin{aligned}
\dfrac{1}{2u^2-1}
&=\dfrac{1}{2}
\left(
\dfrac{1}{\sqrt2\,u-1}
-\dfrac{1}{\sqrt2\,u+1}
\right)\\
\dfrac{1}{3-2v^2}
&=\dfrac{1}{2\sqrt3}
\left(
\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2\,v}
+\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2\,v}
\right)
\end{aligned}Интегрируя, получаем∫du2u2−1=122ln⁡∣2 u−12 u+1∣∫dv3−2v2=126ln⁡∣3+2 v3−2 v∣\begin{aligned}
\int\dfrac{du}{2u^2-1}
&=\dfrac{1}{2\sqrt2}
\ln\left|\dfrac{\sqrt2\,u-1}{\sqrt2\,u+1}\right|\\
\int\dfrac{dv}{3-2v^2}
&=\dfrac{1}{2\sqrt6}
\ln\left|\dfrac{\sqrt3+\sqrt2\,v}
{\sqrt3-\sqrt2\,v}\right|
\end{aligned}Поэтому∫sin⁡x−2cos⁡x1+4sin⁡xcos⁡x dx=342ln⁡∣2(sin⁡x+cos⁡x)+12(sin⁡x+cos⁡x)−1∣−146ln⁡∣3+2(sin⁡x−cos⁡x)3−2(sin⁡x−cos⁡x)∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{\sin x-2\cos x}{1+4\sin x\cos x}\,dx
&=\dfrac{3}{4\sqrt2}
\ln\left|
\dfrac{\sqrt2(\sin x+\cos x)+1}
{\sqrt2(\sin x+\cos x)-1}
\right|-\dfrac{1}{4\sqrt6}
\ln\left|
\dfrac{\sqrt3+\sqrt2(\sin x-\cos x)}
{\sqrt3-\sqrt2(\sin x-\cos x)}
\right|+C
\end{aligned}
Демидович № 2056 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика