Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2052

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2052

∫sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2xsin⁡x+2cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin^2x-\sin x\cos x+2\cos^2x}{\sin x+2\cos x}\,dx.
Ответ:15sin⁡x+35cos⁡x+855ln⁡∣tg⁡x+φ2∣+C,φ=arctg⁡2,x≠−φ+πk,k∈Z\begin{aligned}
&\dfrac{1}{5}\sin x+\dfrac{3}{5}\cos x
+\dfrac{8}{5\sqrt5}
\ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C,
&\qquad
\varphi=\arctg2,
\qquad
x\ne-\varphi+\pi k,
\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Положимφ=arctg⁡2,0<φ<π2\varphi=\arctg2,
\qquad
0<\varphi<\dfrac{\pi}{2}Тогдаcos⁡φ=15,sin⁡φ=25\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt5},
\qquad
\sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt5}поэтому5sin⁡(x+φ)=5(sin⁡xcos⁡φ+cos⁡xsin⁡φ)==sin⁡x+2cos⁡x\begin{aligned}
\sqrt5\sin(x+\varphi)
&=\sqrt5\bigl(\sin x\cos\varphi
+\cos x\sin\varphi\bigr)=\\
&=\sin x+2\cos x
\end{aligned}Поэтому область определения задаётся условиемx≠−φ+πk,k∈Zx\ne-\varphi+\pi k,
\qquad k\in\mathbb ZИщем разложениеsin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2xsin⁡x+2cos⁡x==Acos⁡x−Bsin⁡x+Csin⁡x+2cos⁡x\begin{aligned}
&\dfrac{\sin^2x-\sin x\cos x+2\cos^2x}
{\sin x+2\cos x}=\\
&\qquad=
A\cos x-B\sin x
+\dfrac{C}{\sin x+2\cos x}
\end{aligned}После умножения на знаменатель используем тождество 1=sin⁡2x+cos⁡2x1=\sin^2x+\cos^2x, чтобы записать постоянное слагаемое как C=Csin⁡2x+Ccos⁡2xC=C\sin^2x+C\cos^2x и затем сравнить коэффициенты при одинаковых тригонометрических выражениях:sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x=(Acos⁡x−Bsin⁡x)(sin⁡x+2cos⁡x)+C==(C−B)sin⁡2x+(A−2B)sin⁡xcos⁡x+(2A+C)cos⁡2x\begin{aligned}
\sin^2x-\sin x\cos x+2\cos^2x
&=(A\cos x-B\sin x)(\sin x+2\cos x)+C=\\
&=(C-B)\sin^2x+(A-2B)\sin x\cos x+(2A+C)\cos^2x
\end{aligned}Сравнение коэффициентов даёт{C−B=1A−2B=−12A+C=2\begin{cases}
C-B=1\\
A-2B=-1\\
2A+C=2
\end{cases}ОтсюдаA=15,B=35,C=85A=\dfrac{1}{5},
\qquad
B=\dfrac{3}{5},
\qquad
C=\dfrac{8}{5}Следовательно,∫sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2xsin⁡x+2cos⁡x dx=15sin⁡x+35cos⁡x+85∫dxsin⁡x+2cos⁡x\begin{aligned}
\int
\dfrac{\sin^2x-\sin x\cos x+2\cos^2x}
{\sin x+2\cos x}\,dx
&=\dfrac{1}{5}\sin x+\dfrac{3}{5}\cos x+\dfrac{8}{5}
\int\dfrac{dx}{\sin x+2\cos x}
\end{aligned}Так какddyln⁡∣tg⁡y2∣=1tg⁡y212cos⁡2y2=1sin⁡y\begin{aligned}
\dfrac{d}{dy}\ln\left|\tg\dfrac{y}{2}\right|
&=\dfrac{1}{\tg\frac{y}{2}}
\dfrac{1}{2\cos^2\frac{y}{2}}
=\dfrac{1}{\sin y}
\end{aligned}то после замены y=x+φy=x+\varphi получаем∫dxsin⁡x+2cos⁡x=15ln⁡∣tg⁡x+φ2∣+C\int\dfrac{dx}{\sin x+2\cos x}
=\dfrac{1}{\sqrt5}
\ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+CПоэтому∫sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2xsin⁡x+2cos⁡x dx=15sin⁡x+35cos⁡x+855ln⁡∣tg⁡x+φ2∣+C\begin{aligned}
\int
\dfrac{\sin^2x-\sin x\cos x+2\cos^2x}
{\sin x+2\cos x}\,dx
&=\dfrac{1}{5}\sin x+\dfrac{3}{5}\cos x+\dfrac{8}{5\sqrt5}
\ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C
\end{aligned}
Демидович № 2052 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика