Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2046

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2046

Доказать, что∫a1sin⁡x+b1cos⁡x+c1asin⁡x+bcos⁡x+c dx=Ax+Bln⁡∣asin⁡x+bcos⁡x+c∣+C∫dxasin⁡x+bcos⁡x+c,\begin{aligned}
\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a\sin x+b\cos x+c}\,dx
&=Ax+B\ln|a\sin x+b\cos x+c|\\
&\quad+C\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x+c},
\end{aligned}где AA, BB, CC --- некоторые постоянные коэффициенты.
Доказано:При a2+b2>0a^2+b^2>0 утверждение доказано с коэффициентамиA=aa1+bb1a2+b2,B=ab1−ba1a2+b2,C=c1−cAA=\dfrac{aa_1+bb_1}{a^2+b^2},
\qquad
B=\dfrac{ab_1-ba_1}{a^2+b^2},
\qquad
C=c_1-cAФормула применяется на каждом промежутке, где asin⁡x+bcos⁡x+c≠0a\sin x+b\cos x+c\ne0; на разных промежутках постоянная C0C_0 выбирается независимо. Если a=b=0a=b=0 и c≠0c\ne0, утверждение верно только в частном случае a1=b1=0a_1=b_1=0; при a=b=c=0a=b=c=0 интеграл не определён.

Доказательство

В печатной формулировке не указано условие a2+b2>0a^2+b^2>0. Без него утверждение в общем случае неверно. Ниже докажем невырожденный случайa2+b2>0a^2+b^2>0ОбозначимQ=asin⁡x+bcos⁡x+c,Q′=acos⁡x−bsin⁡xQ=a\sin x+b\cos x+c,
\qquad
Q'=a\cos x-b\sin xИщем постоянные AA, BB и CC так, чтобыa1sin⁡x+b1cos⁡x+c1=AQ+BQ′+Ca_1\sin x+b_1\cos x+c_1=AQ+BQ'+CСравнение коэффициентов даёт{aA−bB=a1bA+aB=b1cA+C=c1\begin{cases}
aA-bB=a_1\\
bA+aB=b_1\\
cA+C=c_1
\end{cases}Из первых двух уравненийA=aa1+bb1a2+b2,B=ab1−ba1a2+b2A=\dfrac{aa_1+bb_1}{a^2+b^2},
\qquad
B=\dfrac{ab_1-ba_1}{a^2+b^2}а из третьегоC=c1−cAC=c_1-cAНа отдельном промежутке, где Q≠0Q\ne0, делим найденное тождество на QQ:a1sin⁡x+b1cos⁡x+c1Q=A+BQ′Q+CQ\dfrac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{Q}
=A+B\dfrac{Q'}{Q}+\dfrac{C}{Q}После интегрирования получаем∫a1sin⁡x+b1cos⁡x+c1asin⁡x+bcos⁡x+c dx=Ax+Bln⁡∣asin⁡x+bcos⁡x+c∣+C∫dxasin⁡x+bcos⁡x+c+C0\begin{aligned}
\int\dfrac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}
{a\sin x+b\cos x+c}\,dx
&=Ax+B\ln|a\sin x+b\cos x+c| +C\int\dfrac{dx}
{a\sin x+b\cos x+c}+C_0
\end{aligned}Итак, требуемое представление доказано при a2+b2>0a^2+b^2>0.

Разберём пропущенный в формулировке вырожденный случай. Если a=b=0a=b=0 и c≠0c\ne0, то∫a1sin⁡x+b1cos⁡x+c1c dx=−a1ccos⁡x+b1csin⁡x+c1cx+C0\int\dfrac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{c}\,dx
=-\dfrac{a_1}{c}\cos x
+\dfrac{b_1}{c}\sin x
+\dfrac{c_1}{c}x+C_0Поэтому заявленный вид при a=b=0a=b=0 возможен только при a1=b1=0a_1=b_1=0; тогда, например, можно взять A=B=0A=B=0 и C=c1C=c_1. При a=b=c=0a=b=c=0 подынтегральная функция не определена.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2046 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика