Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2045

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^3}\,dx

Ответ:

-\dfrac{(aa_1+bb_1)(a\cos x-b\sin x)}{(a^2+b^2)^2(a\sin x+b\cos x)}-\dfrac{ab_1-ba_1}{2(a^2+b^2)(a\sin x+b\cos x)^2}+C

Формула применяется при

a^2+b^2>0

на каждом промежутке, где

a\sin x+b\cos x\ne0.

При

a=b=0

подынтегральное выражение не определено.

Решение

Пусть

r^2=a^2+b^2>0

D=a\sin x+b\cos x

D'=a\cos x-b\sin x

. Выразим числитель через

D

D'

a_1\sin x+b_1\cos x=AD+BD',\qquadA=\dfrac{aa_1+bb_1}{r^2},\quad B=\dfrac{ab_1-ba_1}{r^2}

Действительно, коэффициенты при

\sin x

\cos x

в правой части равны

Aa-Bb=a_1

Ab+Ba=b_1

. Поэтому

I=A\int\dfrac{dx}{D^2}+B\int\dfrac{D'}{D^3}\,dx

Так как

D''=-D

D^2+(D')^2=r^2

, имеем

\left(\dfrac{D'}{D}\right)'=-\dfrac{r^2}{D^2},\qquad\left(\dfrac1{D^2}\right)'=-\dfrac{2D'}{D^3}

Отсюда

I=-\dfrac{AD'}{r^2D}-\dfrac{B}{2D^2}+C

Исключаются нули

D

. При

a=b=0

исходная подынтегральная функция не определена.