Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2044

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2044

∫dx3+5tg⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\tg x}.
Ответ:3x34+534ln⁡∣5sin⁡x+3cos⁡x∣+C,cos⁡x≠0,5sin⁡x+3cos⁡x≠0\dfrac{3x}{34}
+\dfrac5{34}\ln|5\sin x+3\cos x|+C,\qquad

\cos x\ne0,
\qquad
5\sin x+3\cos x\ne0

Решение

Работаем на отдельном промежутке, гдеcos⁡x≠0,5sin⁡x+3cos⁡x≠0\cos x\ne0,
\qquad
5\sin x+3\cos x\ne0При этих ограничениях tg⁡x\tg x определён и знаменатель исходной дроби не равен нулю, поэтому13+5tg⁡x=cos⁡x5sin⁡x+3cos⁡x\dfrac1{3+5\tg x}
=\dfrac{\cos x}{5\sin x+3\cos x}ОбозначимD=5sin⁡x+3cos⁡x,D′=5cos⁡x−3sin⁡xD=5\sin x+3\cos x,
\qquad
D'=5\cos x-3\sin xПоложим cos⁡x=AD+BD′\cos x=AD+BD'. Тогда{5A−3B=0,3A+5B=1,⟹A=334,B=534\begin{cases}
5A-3B=0,\\
3A+5B=1,
\end{cases}
\qquad\Longrightarrow\qquad
A=\dfrac3{34},
\quad
B=\dfrac5{34}Отсюда∫dx3+5tg⁡x=334∫dx+534∫D′D dx==3x34+534ln⁡∣5sin⁡x+3cos⁡x∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{3+5\tg x}
&=\dfrac3{34}\int dx
+\dfrac5{34}\int\dfrac{D'}{D}\,dx=\\
&=\dfrac{3x}{34}
+\dfrac5{34}\ln|5\sin x+3\cos x|+C
\end{aligned}На разных промежутках области определения постоянная CC может принимать независимые значения.
Демидович № 2044 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика