Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 658

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 658

Пусть x→1x\to1 с той стороны, где рассматриваемая функция определена. Выделить главный член вида C(1x−1)nC\left(\frac1{x-1}\right)^n и определить порядок роста относительно 1x−1\frac1{x-1}; в пункте б) при x→1−x\to1- используется положительная величина 11−x\frac1{1-x}.а) x2x2−1;б) 1+x1−x;в) x1−x33\text{а) }\frac{x^2}{x^2-1};
\qquad
\text{б) }\sqrt{\frac{1+x}{1-x}};
\qquad
\text{в) }\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}}г) 1sin⁡πx;д) ln⁡x(1−x)2\text{г) }\frac1{\sin\pi x};
\qquad
\text{д) }\frac{\ln x}{(1-x)^2}
Ответ:а) x2x2−1∼12(1x−1),порядок роста равен 1\frac{x^2}{x^2-1}
\sim\frac12\left(\frac1{x-1}\right),
\qquad \text{порядок роста равен }1б) 1+x1−x∼2(11−x)12,порядок роста равен 12\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
\sim\sqrt2\left(\frac1{1-x}\right)^{\frac12},
\qquad \text{порядок роста равен }\frac12в) x1−x33∼−1331x−13,порядок роста равен 13\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}}
\sim-\frac1{\sqrt[3]{3}}
\sqrt[3]{\frac1{x-1}},
\qquad \text{порядок роста равен }\frac13г) 1sin⁡(πx)∼−1π(1x−1),порядок роста равен 1\frac1{\sin(\pi x)}
\sim-\frac1\pi\left(\frac1{x-1}\right),
\qquad \text{порядок роста равен }1д) ln⁡x(1−x)2∼1x−1,порядок роста равен 1\frac{\ln x}{(1-x)^2}
\sim\frac1{x-1},
\qquad \text{порядок роста равен }1

Решение

В пунктах а), в), г) и д) эквивалентности понимаются на каждой стороне точки 11 отдельно. Во втором пункте возможен только левосторонний предел.

Пункт а)

Разложим знаменатель на множители:x2x2−1=x2(x−1)(x+1)∼12(x−1).\frac{x^2}{x^2-1}
=\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}
\sim\frac1{2(x-1)}.

Пункт б)

Функция определена вблизи единицы только при x<1x<1. Поэтому при x→1−x\to1-1+x1−x∼21−x=2(11−x)12.\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
\sim\sqrt{\frac2{1-x}}
=\sqrt2\left(\frac1{1-x}\right)^{\frac12}.

Пункт в)

Поскольку 1−x3=(1−x)(1+x+x2)∼3(1−x)1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)\sim3(1-x),x1−x33∼−1331x−13.\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}}
\sim-\frac1{\sqrt[3]{3}}
\sqrt[3]{\frac1{x-1}}.

Пункт г)

При x→1x\to1sin⁡(πx)=sin⁡(π−πx)∼π(1−x).\sin(\pi x)=\sin\bigl(\pi-\pi x\bigr)\sim\pi(1-x).Следовательно,1sin⁡(πx)∼1π(1−x)=−1π(1x−1).\frac1{\sin(\pi x)}
\sim\frac1{\pi(1-x)}
=-\frac1\pi\left(\frac1{x-1}\right).

Пункт д)

Так как ln⁡x∼x−1\ln x\sim x-1 и (1−x)2=(x−1)2(1-x)^2=(x-1)^2,ln⁡x(1−x)2∼1x−1.\frac{\ln x}{(1-x)^2}
\sim\frac1{x-1}.

Проверка

В пунктах а), в), г) и д) показатель степени равен соответственно 11, 1/31/3, 11 и 11. В пункте б) используется положительная величина 1/(1−x)1/(1-x), и порядок роста равен 1/21/2.