Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 658

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть

x\to1

с той стороны, где рассматриваемая функция определена. Выделить главный член вида

C\left(\frac1{x-1}\right)^n

и определить порядок роста относительно

\frac1{x-1}

; в пункте б) при

x\to1-

используется положительная величина

\frac1{1-x}

\text{а) }\frac{x^2}{x^2-1};\qquad\text{б) }\sqrt{\frac{1+x}{1-x}};\qquad\text{в) }\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}}

\text{г) }\frac1{\sin\pi x};\qquad\text{д) }\frac{\ln x}{(1-x)^2}

Ответ:

\frac{x^2}{x^2-1} \sim\frac12\left(\frac1{x-1}\right), \qquad \text{порядок роста равен }1

\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \sim\sqrt2\left(\frac1{1-x}\right)^{\frac12}, \qquad \text{порядок роста равен }\frac12

\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}} \sim-\frac1{\sqrt[3]{3}} \sqrt[3]{\frac1{x-1}}, \qquad \text{порядок роста равен }\frac13

\frac1{\sin(\pi x)} \sim-\frac1\pi\left(\frac1{x-1}\right), \qquad \text{порядок роста равен }1

\frac{\ln x}{(1-x)^2} \sim\frac1{x-1}, \qquad \text{порядок роста равен }1

Решение

Идея

В пунктах а), в), г) и д) эквивалентности понимаются на каждой стороне точки

1

отдельно. Во втором пункте возможен только левосторонний предел.

Разложим знаменатель на множители:

\frac{x^2}{x^2-1} =\frac{x^2}{(x-1)(x+1)} \sim\frac1{2(x-1)}

Во втором пункте функция определена вблизи единицы только при

x<1

. Поэтому при

x\to1-

\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \sim\sqrt{\frac2{1-x}} =\sqrt2\left(\frac1{1-x}\right)^{\frac12}

Поскольку

1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)\sim3(1-x)

\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}} \sim-\frac1{\sqrt[3]{3}} \sqrt[3]{\frac1{x-1}}

При

x\to1

\sin(\pi x) =\sin\bigl(\pi-\pi x\bigr) \sim\pi(1-x)

Проверка

Так как

\ln x\sim x-1

(1-x)^2=(x-1)^2

\frac{\ln x}{(1-x)^2} \sim\frac1{x-1}