Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 649

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 649

Показать, что символ ∼\sim обладает свойствами:

1) рефлексивности: φ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\varphi(x);

2) симметрии: если φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x), то ψ(x)∼φ(x)\psi(x)\sim\varphi(x);

3) транзитивности: если φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x) и ψ(x)∼χ(x)\psi(x)\sim\chi(x), то φ(x)∼χ(x)\varphi(x)\sim\chi(x).
Доказано:φ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\varphi(x)φ(x)∼ψ(x)⟹ψ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\psi(x)
\quad\Longrightarrow\quad
\psi(x)\sim\varphi(x)φ(x)∼ψ(x), ψ(x)∼χ(x)⟹φ(x)∼χ(x)\varphi(x)\sim\psi(x),\ \psi(x)\sim\chi(x)
\quad\Longrightarrow\quad
\varphi(x)\sim\chi(x)

Доказательство

Удобно использовать определение, которое допускает и общие нули функций:φ∼ψ⟺φ−ψ=o(ψ).\varphi\sim\psi\quad\Longleftrightarrow\quad
\varphi-\psi=o(\psi).Это означает, что φ=(1+α)ψ\varphi=(1+\alpha)\psi для некоторой функции α→0\alpha\to0. Если ψ\psi не обращается в нуль, определение равносильно пределу φ/ψ→1\varphi/\psi\to1.
Рефлексивность. Берём α=0\alpha=0: равенство φ=(1+0)φ\varphi=(1+0)\varphi даёт φ∼φ\varphi\sim\varphi.

Симметрия. Пусть φ=(1+α)ψ\varphi=(1+\alpha)\psi, где α→0\alpha\to0. В достаточно малой окрестности ∣α∣<1/2|\alpha|<1/2, поэтому 1+α≠01+\alpha\ne0 иψ=φ1+α=(1−α1+α)φ.\psi=\frac{\varphi}{1+\alpha}
=\left(1-\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)\varphi.Коэффициент −α/(1+α)-\alpha/(1+\alpha) стремится к нулю. Значит, ψ∼φ\psi\sim\varphi.

Транзитивность. Пусть φ=(1+α)ψ\varphi=(1+\alpha)\psi, ψ=(1+β)χ\psi=(1+\beta)\chi, где α,β→0\alpha,\beta\to0. Тогдаφ=(1+α)(1+β)χ=(1+α+β+αβ)χ.\varphi=(1+\alpha)(1+\beta)\chi
=(1+\alpha+\beta+\alpha\beta)\chi.Сумма α+β+αβ→0\alpha+\beta+\alpha\beta\to0, поэтому φ∼χ\varphi\sim\chi. Все три свойства доказаны.

Что и требовалось доказать