Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 649

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 649

Показать, что символ ∼\sim обладает свойствами:

1) рефлективности: φ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\varphi(x);

2) симметрии: если φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x), то ψ(x)∼φ(x)\psi(x)\sim\varphi(x);

3) транзитивности: если φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x) и ψ(x)∼χ(x)\psi(x)\sim\chi(x), то φ(x)∼χ(x)\varphi(x)\sim\chi(x).
Доказано:φ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\varphi(x)φ(x)∼ψ(x)⟹ψ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\psi(x)
\quad\Longrightarrow\quad
\psi(x)\sim\varphi(x)φ(x)∼ψ(x), ψ(x)∼χ(x)⟹φ(x)∼χ(x)\varphi(x)\sim\psi(x),\ \psi(x)\sim\chi(x)
\quad\Longrightarrow\quad
\varphi(x)\sim\chi(x)

Доказательство

Идея

По определению φ∼ψ\varphi\sim\psi, если отношение φ(x)ψ(x)\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} стремится к 11.
  1. 1
    Для любой ненулевой в проколотой окрестности функции φ\varphiφ(x)φ(x)=1\frac{\varphi(x)}{\varphi(x)}=1
  2. 2
    Если φψ→1\frac{\varphi}{\psi}\to1, тоψφ=1φψ→1\frac{\psi}{\varphi}
    =\frac{1}{\frac{\varphi}{\psi}}
    \to1

Проверка

Если φψ→1\frac{\varphi}{\psi}\to1 и ψχ→1\frac{\psi}{\chi}\to1, тоφχ=φψ⋅ψχ→1\frac{\varphi}{\chi}
=\frac{\varphi}{\psi}\cdot\frac{\psi}{\chi}
\to1

Что и требовалось доказать

Демидович № 649 — решение и ответ