Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 646

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 646

Пусть f(x)>0f(x)>0 в некоторой проколотой окрестности точки aa. Обозначение u(x)=o(f(x))u(x)=o(f(x)) означает, чтоu(x)f(x)⟶0(x→a),\frac{u(x)}{f(x)}\longrightarrow0
\qquad (x\to a),а u(x)=O(f(x))u(x)=O(f(x)) означает, что отношение u(x)f(x)\frac{u(x)}{f(x)} ограничено в этой окрестности. Равенства ниже понимаются как равенства соответствующих классов функций.

Показать, что:а) o(o(f(x)))=o(f(x));б) O(o(f(x)))=o(f(x));\text{а) }o(o(f(x)))=o(f(x));
\qquad
\text{б) }O(o(f(x)))=o(f(x));в) o(O(f(x)))=o(f(x));г) O(O(f(x)))=O(f(x));\text{в) }o(O(f(x)))=o(f(x));
\qquad
\text{г) }O(O(f(x)))=O(f(x));д) O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))\text{д) }O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))
Доказано:а) o(o(f(x)))=o(f(x))o(o(f(x)))=o(f(x))б) O(o(f(x)))=o(f(x))O(o(f(x)))=o(f(x))в) o(O(f(x)))=o(f(x))o(O(f(x)))=o(f(x))г) O(O(f(x)))=O(f(x))O(O(f(x)))=O(f(x))д) O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))

Доказательство

Равенство u=o(v)u=o(v) означает, что u=αvu=\alpha v, где α(x)→0\alpha(x)\to0. Равенство u=O(v)u=O(v) означает, что u=βvu=\beta v, где функция β\beta ограничена в некоторой проколотой окрестности точки aa.

Пункт а)

Если u=o(v)u=o(v) и v=o(f)v=o(f), то u=αvu=\alpha v, v=γfv=\gamma f, где α→0\alpha\to0 и γ→0\gamma\to0. Поэтомуu=αγf,αγ→0u=\alpha\gamma f,
\qquad \alpha\gamma\to0Это доказывает включение o(o(f))⊂o(f)o(o(f))\subset o(f). Обратно, если u=o(f)u=o(f), положим r=∣u∣fr=\frac{|u|}{f} иv(x)=r(x)f(x).v(x)=\sqrt{r(x)}f(x).Тогда v=o(f)v=o(f). Определим α(x)=0\alpha(x)=0 при u(x)=0u(x)=0 и α(x)=u(x)v(x)\alpha(x)=\frac{u(x)}{v(x)} при u(x)≠0u(x)\ne0. Имеем∣α(x)∣=r(x)⟶0,u(x)=α(x)v(x),|\alpha(x)|=\sqrt{r(x)}\longrightarrow0,
\qquad
u(x)=\alpha(x)v(x),то есть u=o(v)u=o(v). Получено и обратное включение.

Пункт б)

Если u=O(v)u=O(v) и v=o(f)v=o(f), то u=βvu=\beta v, v=γfv=\gamma f, где β\beta ограничена, а γ→0\gamma\to0. Тогда βγ→0\beta\gamma\to0, откудаO(o(f))⊂o(f).O(o(f))\subset o(f).Обратно, для u=o(f)u=o(f) можно взять v=uv=u: тогда v=o(f)v=o(f) и u=O(v)u=O(v).

Пункт в)

Если u=o(v)u=o(v) и v=O(f)v=O(f), то u=αvu=\alpha v, v=βfv=\beta f, где α→0\alpha\to0, а β\beta ограничена. Следовательно, αβ→0\alpha\beta\to0.
Обратное включение получается при v=fv=f: функция ff принадлежит O(f)O(f), а u=o(f)=o(v)u=o(f)=o(v).

Пункт г)

Если u=O(v)u=O(v) и v=O(f)v=O(f), то u=αvu=\alpha v, v=βfv=\beta f, где обе функции α\alpha и β\beta ограничены. Их произведение также ограничено.
Для обратного включения снова достаточно взять v=fv=f.

Пункт д)

Наконец, пусть u=O(f)u=O(f) и v=o(f)v=o(f). Тогда u=αfu=\alpha f, v=βfv=\beta f, где α\alpha ограничена, а β→0\beta\to0. Функция α+β\alpha+\beta ограничена, поэтомуO(f)+o(f)⊂O(f).O(f)+o(f)\subset O(f).Обратное включение следует из представления w=w+0w=w+0, где w∈O(f)w\in O(f), а 0∈o(f)0\in o(f).

Что и требовалось доказать