Демидович — задача 646

1. 1
   Если $u=o(v)$ и $v=o(f)$, то $u=\alpha v$, $v=\gamma f$, где $\alpha\to0$ и $\gamma\to0$. Поэтому$$u=\alpha\gamma f,$$
   \qquad \alpha\gamma\to0Это доказывает включение $o(o(f))\subset o(f)$. Обратно, если $u=o(f)$, положим $r=\frac{|u|}{f}$ и$$v(x)=\sqrt{r(x)}f(x).$$Тогда $v=o(f)$. Определим $\alpha(x)=0$ при $u(x)=0$ и $\alpha(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ при $u(x)\ne0$. Имеем$$|\alpha(x)|=\sqrt{r(x)}\longrightarrow0,$$
   \qquad
   u(x)=\alpha(x)v(x),то есть $u=o(v)$. Получено и обратное включение.
2. 2
   Если $u=O(v)$ и $v=o(f)$, то $u=\beta v$, $v=\gamma f$, где $\beta$ ограничена, а $\gamma\to0$. Тогда $\beta\gamma\to0$, откуда$$O(o(f))\subset o(f).$$Обратно, для $u=o(f)$ можно взять $v=u$: тогда $v=o(f)$ и $u=O(v)$.
3. 3
   Если $u=o(v)$ и $v=O(f)$, то $u=\alpha v$, $v=\beta f$, где $\alpha\to0$, а $\beta$ ограничена. Следовательно, $\alpha\beta\to0$.
   Обратное включение получается при $v=f$: функция $f$ принадлежит $O(f)$, а $u=o(f)=o(v)$.
4. 4
   Если $u=O(v)$ и $v=O(f)$, то $u=\alpha v$, $v=\beta f$, где обе функции $\alpha$ и $\beta$ ограничены. Их произведение также ограничено.
   Для обратного включения снова достаточно взять $v=f$.

Что и требовалось доказать