Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 650

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 650

Пусть x→0x\to0. Доказать следующие равенства:а) 2x−x2=O(x);б) xsin⁡x=O(x32)\text{а) }2x-x^2=O(x);
\qquad
\text{б) }x\sin\sqrt{x}=O\left(x^{\frac32}\right)в) xsin⁡1x=O(∣x∣);г) ln⁡x=o(1xε)(ε>0)\text{в) }x\sin\frac1x=O(|x|);
\qquad
\text{г) }\ln x=o\left(\frac1{x^\varepsilon}\right)
\quad(\varepsilon>0)д) x+x+x∼x8;е) arctg⁡1x=O(1)\text{д) }\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt[8]{x};
\qquad
\text{е) }\operatorname{arctg}\frac1x=O(1)ж) (1+x)n=1+nx+o(x)\text{ж) }(1+x)^n=1+nx+o(x)
Доказано:2x−x2=O(x)2x-x^2=O(x)xsin⁡x=O(x32)x\sin\sqrt{x}=O\left(x^{\frac32}\right)xsin⁡1x=O(∣x∣)x\sin\frac1x=O(|x|)ln⁡x=o(1xε)\ln x=o\left(\frac1{x^\varepsilon}\right)x+x+x∼x8\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt[8]{x}arctg⁡1x=O(1)\operatorname{arctg}\frac1x=O(1)(1+x)n=1+nx+o(x)(1+x)^n=1+nx+o(x)

Доказательство

Идея

Разложим выражение на множители:2x−x2=x(2−x)2x-x^2=x(2-x)Так как 2−x2-x ограничено при x→0x\to0, получаем требуемое равенство.
  1. 1
    В пункте б) рассматривается x→0+x\to0+. Поскольку sin⁡t∼t\sin t\sim t при t→0t\to0,xsin⁡x∼xx=x32x\sin\sqrt{x}\sim x\sqrt{x}=x^{\frac32}
  2. 2
    Используем неравенство ∣sin⁡t∣⩽1|\sin t|\leqslant1:∣xsin⁡1x∣⩽∣x∣\left|x\sin\frac1x\right|\leqslant|x|В пункте г) также x→0+x\to0+. Положим t=1xt=\frac1x. Тогда t→+∞t\to+\infty иln⁡x1xε=xεln⁡x=−ln⁡ttε→0\frac{\ln x}{\frac1{x^\varepsilon}}
    =x^\varepsilon\ln x
    =-\frac{\ln t}{t^\varepsilon}
    \to0    При x→0+x\to0+ последовательно имеемx≫x,x+x∼x=x14\sqrt{x}\gg x,
    \qquad
    \sqrt{x+\sqrt{x}}\sim\sqrt{\sqrt{x}}=x^{\frac14}    и поэтомуx+x+x∼x14=x18\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}
    \sim\sqrt{x^{\frac14}}=x^{\frac18}
  3. 3
    Функция arctg⁡t\operatorname{arctg} t ограничена при всех действительных tt:∣arctg⁡1x∣<π2\left|\operatorname{arctg}\frac1x\right|<\frac{\pi}{2}

Проверка

Для фиксированного nn воспользуемся пределомlim⁡x→0(1+x)n−1x=n\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}=nСледовательно, (1+x)n−1=nx+o(x)(1+x)^n-1=nx+o(x).

Что и требовалось доказать

Демидович № 650 — решение и ответ