Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 650

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 650

Пусть x→0x\to0. Доказать следующие равенства:а) 2x−x2=O(x);б) xsin⁡x=O(x32)\text{а) }2x-x^2=O(x);
\qquad
\text{б) }x\sin\sqrt{x}=O\left(x^{\frac32}\right)в) xsin⁡1x=O(∣x∣);г) ln⁡x=o(1xε)(ε>0)\text{в) }x\sin\frac1x=O(|x|);
\qquad
\text{г) }\ln x=o\left(\frac1{x^\varepsilon}\right)
\quad(\varepsilon>0)д) x+x+x∼x8;е) arctg⁡1x=O(1)\text{д) }\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt[8]{x};
\qquad
\text{е) }\operatorname{arctg}\frac1x=O(1)ж) (1+x)n=1+nx+o(x)\text{ж) }(1+x)^n=1+nx+o(x)

Доказательство

Пункт а)

По определению O(x)O(x) достаточно проверить,
что отношение к xx ограничено при x→0x\to0. Здесь2x−x2x=2−x⟶2,\frac{2x-x^2}{x}=2-x\longrightarrow2,так что 2x−x2=O(x)2x-x^2=O(x).

Пункт б)

Здесь x→0+x\to0+, поскольку определён корень x\sqrt{x}.
Неравенство ∣sin⁡t∣⩽∣t∣|\sin t|\leqslant|t| даёт∣xsin⁡x∣⩽xx=x3/2.|x\sin\sqrt{x}|\leqslant x\sqrt{x}=x^{3/2}.Таким образом, xsin⁡x=O(x3/2)x\sin\sqrt{x}=O(x^{3/2}).

Пункт в)

Из ∣sin⁡t∣⩽1|\sin t|\leqslant1 следует∣xsin⁡1x∣⩽∣x∣,\left|x\sin\frac1x\right|\leqslant|x|,то есть xsin⁡(1/x)=O(∣x∣)x\sin(1/x)=O(|x|).

Пункт г)

Предел рассматриваем при x→0+x\to0+.
Полагая t=1/xt=1/x, получаем для каждого фиксированного ε>0\varepsilon>0ln⁡xx−ε=xεln⁡x=−ln⁡ttε⟶0,t→+∞.\frac{\ln x}{x^{-\varepsilon}}
=x^\varepsilon\ln x
=-\frac{\ln t}{t^\varepsilon}\longrightarrow0,
\qquad t\to+\infty.Итак, ln⁡x=o(x−ε)\ln x=o(x^{-\varepsilon}).

Пункт д)

Выделим из вложенных корней степень xx.
При x→0+x\to0+x+x=x1/41+x,\sqrt{x+\sqrt{x}}=x^{1/4}\sqrt{1+\sqrt{x}},а потомуx+x+xx1/8=x3/4+1+x⟶1.\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x^{1/8}}
=\sqrt{x^{3/4}+\sqrt{1+\sqrt{x}}}\longrightarrow1.Это и означает эквивалентность исходного выражения x8\sqrt[8]{x}.

Пункт е)

Арктангенс ограничен на всей числовой прямой:∣arctg⁡1x∣<π2(x≠0).\left|\operatorname{arctg}\frac1x\right|<\frac\pi2
\qquad(x\ne0).Следовательно, arctg⁡(1/x)=O(1)\operatorname{arctg}(1/x)=O(1).

Пункт ж)

Для фиксированного nn уже доказано, что(1+x)n−1x⟶n.\frac{(1+x)^n-1}{x}\longrightarrow n.Следовательно, (1+x)n−1−nx=o(x)(1+x)^n-1-nx=o(x), как требовалось.

Что и требовалось доказать