Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 660

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 660

Пусть x→+∞x\to+\infty и fn(x)=xnf_n(x)=\sqrt[n]{x} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots). Доказать, что:

1) для каждого n⩾2n\geqslant2 функция fn(x)f_n(x) растёт медленнее, чем предшествующая функция fn−1(x)f_{n-1}(x);

2) функция f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x растёт медленнее, чем каждая из функций fn(x)f_n(x) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).
Доказано:xn=o(xn−1)(n⩾2)\sqrt[n]{x}=o\left(\sqrt[n-1]{x}\right)
\quad(n\geqslant2)ln⁡x=o(xn)для каждого n∈{1,2,3,…}\ln x=o\left(\sqrt[n]{x}\right)
\quad\text{для каждого }n\in\{1,2,3,\ldots\}

Доказательство

Идея

Для n⩾2n\geqslant2fn(x)fn−1(x)=x1n−1n−1=x−1n(n−1)→0\frac{f_n(x)}{f_{n-1}(x)}
=x^{\frac1n-\frac1{n-1}}
=x^{-\frac1{n(n-1)}}
\to0
Зафиксируем натуральное nn и положим t=xnt=\sqrt[n]{x}. Тогда t→+∞t\to+\infty, x=tnx=t^n иln⁡xxn=nln⁡tt→0\frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}}
=\frac{n\ln t}{t}
\to0

Что и требовалось доказать

Демидович № 660 — решение и ответ