Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 654

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 654

Пусть x→0+x\to0+. Показать, что функцииа) f(x)=1ln⁡x;б) f(x)=e−1x2\text{а) }f(x)=\frac1{\ln x};
\qquad
\text{б) }f(x)=e^{-\frac1{x^2}}не имеют главного члена вида CxnCx^n, где C≠0C\ne0 и n>0n>0, то есть ни при каком nn не может иметь место равенствоlim⁡x→0f(x)xn=k\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}=kгде kk — конечная величина, отличная от нуля.
Доказано:а) 1ln⁡x не имеет главного члена вида Cxn(n>0)\frac1{\ln x}\ \text{не имеет главного члена вида }Cx^n
\quad(n>0)б) e−1x2=o(xn)для любого n>0e^{-\frac1{x^2}}=o(x^n)
\quad\text{для любого }n>0

Доказательство

Пункт а)

Для функции 1ln⁡x\frac1{\ln x} при любом n>0n>01ln⁡xxn=1xnln⁡x\frac{\frac1{\ln x}}{x^n}
=\frac1{x^n\ln x}Из известного предела xnln⁡x→0−x^n\ln x\to0- следует1xnln⁡x→−∞\frac1{x^n\ln x}\to-\inftyТаким образом, конечного ненулевого предела быть не может.

Пункт б)

Для второй функции положим t=1x2t=\frac1{x^2}. Тогда t→+∞t\to+\infty иe−1x2xn=tn2e−t→0\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}
=t^{\frac n2}e^{-t}
\to0Значит, эта функция убывает быстрее любой положительной степени xx, и отношение вновь не может стремиться к конечному числу, отличному от нуля.

Что и требовалось доказать