Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 655

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 655

Пусть x→1x\to1. Выделить главный член вида C(x−1)nC(x-1)^n и определить порядки малости относительно бесконечно малой x−1x-1 следующих функций. Дробные степени с нечётным знаменателем понимаются как действительные корни.а) x3−3x+2;б) 1−x3;в) ln⁡x\text{а) }x^3-3x+2;
\qquad
\text{б) }\sqrt[3]{1-\sqrt{x}};
\qquad
\text{в) }\ln xг) ex−e;д) xx−1\text{г) }e^x-e;
\qquad
\text{д) }x^x-1
Ответ:а) x3−3x+2∼3(x−1)2,порядок малости равен 2x^3-3x+2\sim3(x-1)^2,
\qquad \text{порядок малости равен }2б) 1−x3∼−123x−13,порядок малости равен 13\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}
\sim-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{x-1},
\qquad \text{порядок малости равен }\frac13в) ln⁡x∼x−1,порядок малости равен 1\ln x\sim x-1,
\qquad \text{порядок малости равен }1г) ex−e∼e(x−1),порядок малости равен 1e^x-e\sim e(x-1),
\qquad \text{порядок малости равен }1д) xx−1∼x−1,порядок малости равен 1x^x-1\sim x-1,
\qquad \text{порядок малости равен }1

Решение

Положим h=x−1h=x-1, тогда h→0h\to0.

Пункт а)

Подставляя x=1+hx=1+h, получаемx3−3x+2=(1+h)3−3(1+h)+2=3h2+h3∼3h2x^3-3x+2
=(1+h)^3-3(1+h)+2
=3h^2+h^3
\sim3h^2

Пункт б)

Рационализуем выражение под кубическим корнем:1−x=1−x1+x∼1−x21-\sqrt{x}
=\frac{1-x}{1+\sqrt{x}}
\sim\frac{1-x}{2}Следовательно,1−x3∼−x−1323\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}
\sim-\frac{\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt[3]{2}}

Пункт в)

Из первого замечательного предела для логарифмаln⁡x=ln⁡(1+h)∼h\ln x=\ln(1+h)\sim h

Пункт г)

Далее,ex−e=e(eh−1)∼ehe^x-e=e(e^h-1)\sim eh

Пункт д)

Представим xx=exln⁡xx^x=e^{x\ln x}. Поскольку xln⁡x→0x\ln x\to0,xx−1=exln⁡x−1∼xln⁡x∼x−1x^x-1=e^{x\ln x}-1
\sim x\ln x
\sim x-1