Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 645

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 645

Считая центральный угол AOB=xAOB=x (рис. 4) бесконечно малой 1-го порядка, определить порядки малости следующих величин:

а) хорды ABAB; б) стрелки CDCD; в) площади сектора AOBAOB; г) площади треугольника ABCABC; д) площади трапеции ABB1A1ABB_1A_1; е) площади сегмента ABCABC.график к задаче Демидовича № 645

Рисунок выполнен схематически; малый угол xx увеличен для наглядности.
Ответ:а) AB∼Rx,порядок малости равен 1AB\sim Rx,
\qquad \text{порядок малости равен }1б) CD∼R8x2,порядок малости равен 2CD\sim\frac{R}{8}x^2,
\qquad \text{порядок малости равен }2в) SAOB=R22x,порядок малости равен 1S_{AOB}=\frac{R^2}{2}x,
\qquad \text{порядок малости равен }1г) SABC∼R216x3,порядок малости равен 3S_{ABC}\sim\frac{R^2}{16}x^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3д) SABB1A1∼R28x3,порядок малости равен 3S_{ABB_1A_1}\sim\frac{R^2}{8}x^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3е) SABCсегм∼R212x3,порядок малости равен 3S_{ABC}^{\mathrm{сегм}}\sim\frac{R^2}{12}x^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3

Решение

Пусть радиус окружности равен RR, а u=x2u=\frac{x}{2}. Тогда u→0u\to0.

Пункт а)

Хорда выражается через половину центрального угла:AB=2Rsin⁡u∼2Ru=RxAB=2R\sin u\sim2Ru=RxСледовательно, хорда ABAB является бесконечно малой 1-го порядка относительно xx.

Пункт б)

Точка DD является серединой хорды ABAB, поэтомуCD=\displaystyle CD\mathrel{=}R−Rcos⁡u=\displaystyle R-R\cos u\mathrel{=}R(1−cos⁡u)∼Ru22=\displaystyle R(1-\cos u)\sim\frac{Ru^2}{2}\mathrel{=}R8x2\displaystyle \frac{R}{8}x^2Значит, стрелка CDCD имеет порядок малости 22.

Пункт в)

Площадь сектора с углом xx, измеренным в радианах, равнаSсект=R2x2S_{\mathrm{сект}}=\frac{R^2x}{2}Поэтому она имеет порядок малости 11.

Пункт г)

Высота треугольника ABCABC, проведённая к основанию ABAB, равна CDCD. Следовательно,SABC=12AB⋅CD∼12⋅Rx⋅R8x2=R216x3S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CD
\sim\frac12\cdot Rx\cdot\frac{R}{8}x^2
=\frac{R^2}{16}x^3

Пункт д)

Поскольку A1B1A_1B_1 касается окружности в точке CC, имеемA1B1=2Rtg⁡uA_1B_1=2R\operatorname{tg} uВысота трапеции ABB1A1ABB_1A_1 равна CDCD, поэтомуSABB1A1=AB+A1B12 CD=R2(sin⁡u+tg⁡u)(1−cos⁡u)S_{ABB_1A_1}
=\frac{AB+A_1B_1}{2}\,CD
=R^2(\sin u+\operatorname{tg} u)(1-\cos u)Так как sin⁡u+tg⁡u∼2u\sin u+\operatorname{tg} u\sim2u и 1−cos⁡u∼u221-\cos u\sim\frac{u^2}{2}, тоSABB1A1∼R2u3=R28x3S_{ABB_1A_1}\sim R^2u^3=\frac{R^2}{8}x^3

Пункт е)

Площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника AOBAOB:Sсегм=R22(x−sin⁡x).S_{\mathrm{сегм}}=\frac{R^2}{2}(x-\sin x).Нужно найти главный член разности x−sin⁡xx-\sin x: в ней первые члены сокращаются, поэтому заменить sin⁡x\sin x просто на xx нельзя.

Выведем нужный предел с помощью формулы двойного угла. Для 0<x<π/20<x<\pi/2 положимF(x)=x−sin⁡xx3.F(x)=\frac{x-\sin x}{x^3}.Геометрические неравенства sin⁡x⩽x⩽tan⁡x\sin x\leqslant x\leqslant\tan x дают0⩽1−sin⁡xx⩽1−cos⁡x=2sin⁡2(x/2)⩽x22,0\leqslant1-\frac{\sin x}{x}\leqslant1-\cos x
=2\sin^2(x/2)\leqslant\frac{x^2}{2},следовательно, 0⩽F(x)⩽1/20\leqslant F(x)\leqslant1/2. При t=x/2t=x/2 имеемx−sin⁡x=2(t−sin⁡t)+2sin⁡t(1−cos⁡t),x-\sin x=2(t-\sin t)+2\sin t(1-\cos t),откудаF(x)=14F(x/2)+G(x),G(x)=14sin⁡(x/2)x/21−cos⁡(x/2)(x/2)2⟶18.F(x)=\frac14F(x/2)+G(x),\qquad
G(x)=\frac14\frac{\sin(x/2)}{x/2}\frac{1-\cos(x/2)}{(x/2)^2}\longrightarrow\frac18.Если предел FF существует, он должен удовлетворять C=C/4+1/8C=C/4+1/8, то есть C=1/6C=1/6. Теперь докажем само существование. Положим H(x)=F(x)−1/6H(x)=F(x)-1/6, r(x)=G(x)−1/8r(x)=G(x)-1/8. ТогдаH(x)=14H(x/2)+r(x),r(x)→0,H(x)=\frac14H(x/2)+r(x),\qquad r(x)\to0,и ∣H(x)∣⩽1|H(x)|\leqslant1. Для любого ε>0\varepsilon>0 выберем δ\delta так, чтобы ∣r(s)∣<ε|r(s)|<\varepsilon при 0<s<δ0<s<\delta. Для 0<x<δ0<x<\delta это верно и для всех s=x/2js=x/2^j. Последовательная подстановка NN раз даёт∣H(x)∣⩽4−N+ε∑j=0N−14−j<4−N+43ε.|H(x)|\leqslant4^{-N}+\varepsilon\sum_{j=0}^{N-1}4^{-j}
<4^{-N}+\frac43\varepsilon.Переходя здесь к пределу по NN, получаем ∣H(x)∣⩽4ε/3|H(x)|\leqslant4\varepsilon/3. Так как ε\varepsilon произвольно, H(x)→0H(x)\to0. Следовательно,x−sin⁡x∼x36,Sсегм∼R22x36=R2x312.x-\sin x\sim\frac{x^3}{6},\qquad
S_{\mathrm{сегм}}\sim\frac{R^2}{2}\frac{x^3}{6}=\frac{R^2x^3}{12}.Порядок малости площади сегмента равен 33.