Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 645

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 645

Считая центральный угол AOB=xAOB=x (рис. 4) бесконечно малой 1-го порядка, определить порядки малости следующих величин:

а) хорды ABAB; б) стрелки CDCD; в) площади сектора AOBAOB; г) площади треугольника ABCABC; д) площади трапеции ABB1A1ABB_1A_1; е) площади сегмента ABCABC.график к задаче Демидовича № 645

Рисунок выполнен схематически; малый угол xx увеличен для наглядности.
Ответ:AB∼Rx,порядок малости равен 1AB\sim Rx,
\qquad \text{порядок малости равен }1CD∼R8x2,порядок малости равен 2CD\sim\frac{R}{8}x^2,
\qquad \text{порядок малости равен }2SAOB=R22x,порядок малости равен 1S_{AOB}=\frac{R^2}{2}x,
\qquad \text{порядок малости равен }1SABC∼R216x3,порядок малости равен 3S_{ABC}\sim\frac{R^2}{16}x^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3SABB1A1∼R28x3,порядок малости равен 3S_{ABB_1A_1}\sim\frac{R^2}{8}x^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3SABCсегм∼R212x3,порядок малости равен 3S_{ABC}^{\mathrm{сегм}}\sim\frac{R^2}{12}x^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3

Решение

Идея

Пусть радиус окружности равен RR, а u=x2u=\frac{x}{2}. Тогда u→0u\to0.
Хорда выражается через половину центрального угла:AB=2Rsin⁡u∼2Ru=RxAB=2R\sin u\sim2Ru=RxСледовательно, хорда ABAB является бесконечно малой 1-го порядка относительно xx.

Точка DD является серединой хорды ABAB, поэтомуCD=CD\mathrel{=}R−Rcos⁡u=R-R\cos u\mathrel{=}={}\mathrel{=}R(1−cos⁡u)∼Ru22=R(1-\cos u)\sim\frac{Ru^2}{2}\mathrel{=}R8x2\frac{R}{8}x^2Значит, стрелка CDCD имеет порядок малости 22.

Площадь сектора с углом xx, измеренным в радианах, равнаSсект=R2x2S_{\mathrm{сект}}=\frac{R^2x}{2}Поэтому она имеет порядок малости 11.

Высота треугольника ABCABC, проведённая к основанию ABAB, равна CDCD. Следовательно,SABC=12AB⋅CD∼12⋅Rx⋅R8x2=R216x3S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CD
\sim\frac12\cdot Rx\cdot\frac{R}{8}x^2
=\frac{R^2}{16}x^3Поскольку A1B1A_1B_1 касается окружности в точке CC, имеемA1B1=2Rtg⁡uA_1B_1=2R\operatorname{tg} uВысота трапеции ABB1A1ABB_1A_1 равна CDCD, поэтомуSABB1A1=AB+A1B12 CD=R2(sin⁡u+tg⁡u)(1−cos⁡u)S_{ABB_1A_1}
=\frac{AB+A_1B_1}{2}\,CD
=R^2(\sin u+\operatorname{tg} u)(1-\cos u)Так как sin⁡u+tg⁡u∼2u\sin u+\operatorname{tg} u\sim2u и 1−cos⁡u∼u221-\cos u\sim\frac{u^2}{2}, тоSABB1A1∼R2u3=R28x3S_{ABB_1A_1}\sim R^2u^3=\frac{R^2}{8}x^3

Проверка

Площадь сегмента равна разности площадей сектора AOBAOB и треугольника AOBAOB:Sсегм=R22(x−sin⁡x)S_{\mathrm{сегм}}
=\frac{R^2}{2}(x-\sin x)Из разложения sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) получаемSсегм∼R212x3S_{\mathrm{сегм}}\sim\frac{R^2}{12}x^3