Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 661

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что, какова бы ни была последовательность функций

f_1(x),\ f_2(x),\ldots,\ f_n(x),\ldots\qquad(x_0<x<+\infty)

можно построить функцию

f(x)

, которая при

x\to+\infty

растёт быстрее, чем каждая из функций

f_n(x)

(n=1,2,\ldots)

Доказано:

f(x)=N(x)\left(1+\max_{1\leqslant k\leqslant N(x)}|f_k(x)|\right), \qquad f_m(x)=o(f(x))\ \text{для любого фиксированного }m

Доказательство

Идея

При

x\geqslant x_0+1

обозначим через

N=N(x)

единственное натуральное число, для которого

x_0+N\leqslant x<x_0+N+1

Тогда

N(x)\to+\infty

при

x\to+\infty

. Определим

f(x)=N(x)\left(1+\max_{1\leqslant k\leqslant N(x)}|f_k(x)|\right)

На промежутке

x_0<x<x_0+1

функцию

f

можно определить произвольно положительной.

Проверка

Зафиксируем номер

m

. Как только

N(x)\geqslant m

, имеем

0\leqslant\frac{|f_m(x)|}{f(x)} \leqslant\frac1{N(x)} \to0

Следовательно,

f_m(x)=o(f(x))

. Это верно для любого

m

, поэтому

f

растёт быстрее каждой функции

f_m

Что и требовалось доказать