Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 656

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 656

Пусть x→+∞x\to+\infty. Выделить главный член вида CxnCx^n и определить порядки роста относительно бесконечно большой xx следующих функций:а) x2+100x+10 000;б) 2x5x3−3x+1\text{а) }x^2+100x+10\,000;
\qquad
\text{б) }\frac{2x^5}{x^3-3x+1}в) x2−x3+x;г) 1+1+x\text{в) }\sqrt[3]{x^2-x}+\sqrt{x};
\qquad
\text{г) }\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}
Ответ:а) x2+100x+10 000∼x2,порядок роста равен 2x^2+100x+10\,000\sim x^2,
\qquad \text{порядок роста равен }2б) 2x5x3−3x+1∼2x2,порядок роста равен 2\frac{2x^5}{x^3-3x+1}\sim2x^2,
\qquad \text{порядок роста равен }2в) x2−x3+x∼x23,порядок роста равен 23\sqrt[3]{x^2-x}+\sqrt{x}\sim x^{\frac23},
\qquad \text{порядок роста равен }\frac23г) 1+1+x∼x18,порядок роста равен 18\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}\sim x^{\frac18},
\qquad \text{порядок роста равен }\frac18

Решение

Пункт а)

Разделим многочлен на x2x^2:x2+100x+10 000x2=1+100x+10 000x2→1\frac{x^2+100x+10\,000}{x^2}
=1+\frac{100}{x}+\frac{10\,000}{x^2}
\to1

Пункт б)

Для рациональной функции2x5x3−3x+1=2x211−3x2+1x3∼2x2\frac{2x^5}{x^3-3x+1}
=2x^2\frac{1}{1-\frac3{x^2}+\frac1{x^3}}
\sim2x^2

Пункт в)

Поскольку x23x^{\frac23} растёт быстрее, чем x12x^{\frac12},x2−x3+x=x231−1x3+x12∼x23\sqrt[3]{x^2-x}+\sqrt{x}
=x^{\frac23}\sqrt[3]{1-\frac1x}+x^{\frac12}
\sim x^{\frac23}

Пункт г)

Последовательно выделяя главные части вложенных радикалов, получаем1+x∼x14\sqrt{1+\sqrt{x}}\sim x^{\frac14}1+1+x∼x18\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}
\sim x^{\frac18}