Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 657

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 657

Пусть x→+∞x\to+\infty. Выделить главный член вида C(1x)nC\left(\frac1x\right)^n и определить порядки малости относительно бесконечно малой 1x\frac1x следующих функций:а) x+1x4+1;б) x+1−x\text{а) }\frac{x+1}{x^4+1};
\qquad
\text{б) }\sqrt{x+1}-\sqrt{x}в) x+2−2x+1+x;г) 1xsin⁡1x\text{в) }\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x};
\qquad
\text{г) }\frac1x\sin\frac1x
Ответ:а) x+1x4+1∼(1x)3,порядок малости равен 3\frac{x+1}{x^4+1}\sim\left(\frac1x\right)^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3б) x+1−x∼12(1x)12,порядок малости равен 12\sqrt{x+1}-\sqrt{x}
\sim\frac12\left(\frac1x\right)^{\frac12},
\qquad \text{порядок малости равен }\frac12в) x+2−2x+1+x∼−14(1x)32,порядок малости равен 32\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}
\sim-\frac14\left(\frac1x\right)^{\frac32},
\qquad \text{порядок малости равен }\frac32г) 1xsin⁡1x∼(1x)2,порядок малости равен 2\frac1x\sin\frac1x\sim\left(\frac1x\right)^2,
\qquad \text{порядок малости равен }2

Решение

Пункт а)

Делением числителя и знаменателя на x4x^4 получаемx+1x4+1=1x3 1+1x1+1x4∼1x3\frac{x+1}{x^4+1}
=\frac1{x^3}\,
\frac{1+\frac1x}{1+\frac1{x^4}}
\sim\frac1{x^3}

Пункт б)

Рационализуем разность:x+1−x=1x+1+x∼12x\sqrt{x+1}-\sqrt{x}
=\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\sim\frac1{2\sqrt{x}}

Пункт в)

Обозначим A=x+2A=\sqrt{x+2}, B=x+1B=\sqrt{x+1}, C=xC=\sqrt x. Рационализируем обе соседние разности:A−B=1A+B,B−C=1B+C.A-B=\frac1{A+B},\qquad B-C=\frac1{B+C}.ПоэтомуA−2B+C=1A+B−1B+C=C−A(A+B)(B+C).A-2B+C=\frac1{A+B}-\frac1{B+C}
=\frac{C-A}{(A+B)(B+C)}.Ещё раз рационализируем: C−A=−2/(A+C)C-A=-2/(A+C). В итоге получаем точное равенствоA−2B+C=−2(A+C)(A+B)(B+C).A-2B+C=-\frac2{(A+C)(A+B)(B+C)}.Каждый корень, поделённый на x\sqrt x, стремится к 11, поэтому каждая сумма в знаменателе эквивалентна 2x2\sqrt x. Следовательно,A−2B+C∼−2(2x)3=−14x3/2.A-2B+C\sim-\frac2{(2\sqrt x)^3}
=-\frac1{4x^{3/2}}.Главный член равен −14(1/x)3/2-\tfrac14(1/x)^{3/2}, порядок малости — 3/23/2.

Пункт г)

Так как sin⁡t∼t\sin t\sim t при t→0t\to0,1xsin⁡1x∼1x2\frac1x\sin\frac1x
\sim\frac1{x^2}