Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 657

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 657

Пусть x→+∞x\to+\infty. Выделить главный член вида C(1x)nC\left(\frac1x\right)^n и определить порядки малости относительно бесконечно малой 1x\frac1x следующих функций:а) x+1x4+1;б) x+1−x\text{а) }\frac{x+1}{x^4+1};
\qquad
\text{б) }\sqrt{x+1}-\sqrt{x}в) x+2−2x+1+x;г) 1xsin⁡1x\text{в) }\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x};
\qquad
\text{г) }\frac1x\sin\frac1x
Ответ:x+1x4+1∼(1x)3,порядок малости равен 3\frac{x+1}{x^4+1}\sim\left(\frac1x\right)^3,
\qquad \text{порядок малости равен }3x+1−x∼12(1x)12,порядок малости равен 12\sqrt{x+1}-\sqrt{x}
\sim\frac12\left(\frac1x\right)^{\frac12},
\qquad \text{порядок малости равен }\frac12x+2−2x+1+x∼−14(1x)32,порядок малости равен 32\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}
\sim-\frac14\left(\frac1x\right)^{\frac32},
\qquad \text{порядок малости равен }\frac321xsin⁡1x∼(1x)2,порядок малости равен 2\frac1x\sin\frac1x\sim\left(\frac1x\right)^2,
\qquad \text{порядок малости равен }2

Решение

Идея

Делением числителя и знаменателя на x4x^4 получаемx+1x4+1=1x3 1+1x1+1x4∼1x3\frac{x+1}{x^4+1}
=\frac1{x^3}\,
\frac{1+\frac1x}{1+\frac1{x^4}}
\sim\frac1{x^3}
  1. 1
    Рационализуем разность:x+1−x=1x+1+x∼12x\sqrt{x+1}-\sqrt{x}
    =\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
    \sim\frac1{2\sqrt{x}}
  2. 2
    Используем разложение при фиксированном aa:x+a=x(1+a2x−a28x2+o(1x2))\sqrt{x+a}
    =\sqrt{x}\left(1+\frac{a}{2x}-\frac{a^2}{8x^2}
    +o\left(\frac1{x^2}\right)\right)    Подставляя a=2a=2, a=1a=1 и a=0a=0, получаемx+2−2x+1+x=−14x32+o(1x32)\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}
    =-\frac1{4x^{\frac32}}
    +o\left(\frac1{x^{\frac32}}\right)

Проверка

Так как sin⁡t∼t\sin t\sim t при t→0t\to0,1xsin⁡1x∼1x2\frac1x\sin\frac1x
\sim\frac1{x^2}
Демидович № 657 — решение и ответ