Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 653

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть

x\to0

. Выделить главный член вида

Cx^n

(

C

— постоянная) и определить порядки малости относительно переменной

x

следующих функций:

\text{а) }2x-3x^3+x^5;\qquad\text{б) }\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}

\text{в) }\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x};\qquad\text{г) }\operatorname{tg} x-\sin x

Ответ:

2x-3x^3+x^5\sim2x, \qquad \text{порядок малости равен }1

\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x, \qquad \text{порядок малости равен }1

\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x}\sim\frac{x^2}{2}, \qquad \text{порядок малости равен }2

\operatorname{tg} x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}, \qquad \text{порядок малости равен }3

Решение

Идея

В первом выражении вынесем

x

2x-3x^3+x^5 =x(2-3x^2+x^4) \sim2x

1
Рационализуем разность корней: $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} =\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \sim x$
2
Используем разложения при $x\to0$ : $\sqrt{1-2x} =1-x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ $\sqrt[3]{1-3x} =1-x-x^2+o(x^2)$ Вычитая, получаем $\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x} =\frac{x^2}{2}+o(x^2)$

Проверка

Преобразуем разность:

\operatorname{tg} x-\sin x =\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x =\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}

Поскольку

\sin x\sim x

1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}

, а

\cos x\to1

\operatorname{tg} x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}