Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 653

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 653

Пусть x→0x\to0. Выделить главный член вида CxnCx^n (CC — постоянная) и определить порядки малости относительно переменной xx следующих функций:а) 2x−3x3+x5;б) 1+x−1−x\text{а) }2x-3x^3+x^5;
\qquad
\text{б) }\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}в) 1−2x−1−3x3;г) tg⁡x−sin⁡x\text{в) }\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x};
\qquad
\text{г) }\operatorname{tg} x-\sin x
Ответ:а) 2x−3x3+x5∼2x,порядок малости равен 12x-3x^3+x^5\sim2x,
\qquad \text{порядок малости равен }1б) 1+x−1−x∼x,порядок малости равен 1\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x,
\qquad \text{порядок малости равен }1в) 1−2x−1−3x3∼x22,порядок малости равен 2\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x}\sim\frac{x^2}{2},
\qquad \text{порядок малости равен }2г) tg⁡x−sin⁡x∼x32,порядок малости равен 3\operatorname{tg} x-\sin x\sim\frac{x^3}{2},
\qquad \text{порядок малости равен }3

Решение

Пункт а)

В первом выражении вынесем xx:2x−3x3+x5=x(2−3x2+x4)∼2x2x-3x^3+x^5
=x(2-3x^2+x^4)
\sim2x

Пункт б)

Рационализуем разность корней:1+x−1−x=2x1+x+1−x∼x\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}
=\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}
\sim x

Пункт в)

Обозначим A=1−2xA=\sqrt{1-2x}, B=1−3x3B=\sqrt[3]{1-3x} и v=1−xv=1-x. Оба корня стремятся к 11. Сравним каждый с vv:A−v=1−2x−(1−x)2A+v=−x2A+v,A−vx2⟶−12.A-v=\frac{1-2x-(1-x)^2}{A+v}=-\frac{x^2}{A+v},
\qquad\frac{A-v}{x^2}\longrightarrow-\frac12.Для кубического корня используем разность кубов:B−v=1−3x−(1−x)3B2+Bv+v2=−3x2+x3B2+Bv+v2,B-v=\frac{1-3x-(1-x)^3}{B^2+Bv+v^2}
=\frac{-3x^2+x^3}{B^2+Bv+v^2},B−vx2⟶−31+1+1=−1.\frac{B-v}{x^2}\longrightarrow\frac{-3}{1+1+1}=-1.Вычитая нормированные разности, получаемA−Bx2=A−vx2−B−vx2⟶−12−(−1)=12.\frac{A-B}{x^2}=\frac{A-v}{x^2}-\frac{B-v}{x^2}
\longrightarrow-\frac12-(-1)=\frac12.Значит, A−B∼x2/2A-B\sim x^2/2, порядок малости равен 22.

Пункт г)

Преобразуем разность:tg⁡x−sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x(1−cos⁡x)cos⁡x\operatorname{tg} x-\sin x
=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x
=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}Поскольку sin⁡x∼x\sin x\sim x, 1−cos⁡x∼x221-\cos x\sim\frac{x^2}{2}, а cos⁡x→1\cos x\to1,tg⁡x−sin⁡x∼x32\operatorname{tg} x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}