Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 652

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 652

1. Доказать, что при достаточно большом x>0x>0 имеют место неравенства:а) x2+10x+100<0,001x3;б) ln⁡1000x<x\text{а) }x^2+10x+100<0{,}001x^3;
\qquad
\text{б) }\ln^{1000}x<\sqrt{x}в) x10ex<e2x\text{в) }x^{10}e^x<e^{2x}2. Доказать асимптотическую формулуx2+px+q=x+p2+O(1x)\sqrt{x^2+px+q}=x+\frac p2+O\left(\frac1x\right)при x→+∞x\to+\infty.
Доказано:x2+10x+100<0,001x3при всех достаточно больших xx^2+10x+100<0{,}001x^3
\quad\text{при всех достаточно больших }xln⁡1000x<xпри всех достаточно больших x\ln^{1000}x<\sqrt{x}
\quad\text{при всех достаточно больших }xx10ex<e2xпри всех достаточно больших xx^{10}e^x<e^{2x}
\quad\text{при всех достаточно больших }xx2+px+q=x+p2+O(1x)\sqrt{x^2+px+q}
=x+\frac p2+O\left(\frac1x\right)

Доказательство

Идея

Разделим обе части первого неравенства на x3x^3. Посколькуx2+10x+100x3=1x+10x2+100x3→0\frac{x^2+10x+100}{x^3}
=\frac1x+\frac{10}{x^2}+\frac{100}{x^3}
\to0это отношение при достаточно большом xx меньше 0,0010{,}001.
Логарифм растёт медленнее любой положительной степени:ln⁡1000xx=(ln⁡xx12000)1000→0\frac{\ln^{1000}x}{\sqrt{x}}
=\left(\frac{\ln x}{x^{\frac1{2000}}}\right)^{1000}
\to0Следовательно, при достаточно большом xx это отношение меньше 11.

Неравенство x10ex<e2xx^{10}e^x<e^{2x} равносильно 10ln⁡x<x10\ln x<x. Но10ln⁡xx→0\frac{10\ln x}{x}\to0поэтому последнее неравенство выполняется при всех достаточно больших xx.

Проверка

Для второй части вычтем первые два члена предполагаемого разложения и рационализуем разность:x2+px+q−x−p2=\sqrt{x^2+px+q}-x-\frac p2\mathrel{=}x2+px+q−(x+p2)2x2+px+q+x+p2=\frac{x^2+px+q-\left(x+\frac p2\right)^2}
{\sqrt{x^2+px+q}+x+\frac p2}\mathrel{=}={}\mathrel{=}q−p24x2+px+q+x+p2\frac{q-\frac{p^2}{4}}
{\sqrt{x^2+px+q}+x+\frac p2}Знаменатель эквивалентен 2x2x, поэтому полученная разность равна O(1x)O\left(\frac1x\right).

Что и требовалось доказать

Демидович № 652 — решение и ответ