Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 648

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 648

Пусть x→+∞x\to+\infty, n,m>0n,m>0 и C≠0C\ne0. Показать, что:а) CO(xn)=O(xn)\text{а) }C O(x^n)=O(x^n)б) O(xn)+O(xm)=O(xn)(n>m)\text{б) }O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)
\quad(n>m)в) O(xn)O(xm)=O(xn+m)\text{в) }O(x^n)O(x^m)=O(x^{n+m})
Доказано:CO(xn)=O(xn)C O(x^n)=O(x^n)O(xn)+O(xm)=O(xn)O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)O(xn)O(xm)=O(xn+m)O(x^n)O(x^m)=O(x^{n+m})

Доказательство

Идея

Пусть Fn(x)=a(x)xnF_n(x)=a(x)x^n и Fm(x)=b(x)xmF_m(x)=b(x)x^m, где aa и bb ограничены при x→+∞x\to+\infty.
Поскольку C≠0C\ne0, умножение и деление ограниченной функции на CC сохраняют ограниченность.

При n>mn>mFn(x)+Fm(x)=xn(a(x)+b(x)xm−n)F_n(x)+F_m(x)
=x^n\bigl(a(x)+b(x)x^{m-n}\bigr)Здесь xm−n→0x^{m-n}\to0, поэтому выражение в скобках ограничено.
Обратное включение следует из представления Fn=Fn+0F_n=F_n+0, где 0∈O(xm)0\in O(x^m).

Проверка

Кроме того,Fn(x)Fm(x)=a(x)b(x)xn+mF_n(x)F_m(x)=a(x)b(x)x^{n+m}Обратно, функцию c(x)xn+mc(x)x^{n+m}, где cc ограничена, можно представить как произведение c(x)xn⋅xmc(x)x^n\cdot x^m.

Что и требовалось доказать

Демидович № 648 — решение и ответ