Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 647

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 647

Пусть x→0+x\to0+, n,m>0n,m>0. Показать, что:а) CO(xn)=O(xn)(C≠0 — постоянная)\text{а) }C O(x^n)=O(x^n)
\quad(C\ne0\text{ — постоянная})б) O(xn)+O(xm)=O(xn)(n<m)\text{б) }O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)
\quad(n<m)в) O(xn)O(xm)=O(xn+m)\text{в) }O(x^n)O(x^m)=O(x^{n+m})
Доказано:CO(xn)=O(xn)C O(x^n)=O(x^n)O(xn)+O(xm)=O(xn)O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)O(xn)O(xm)=O(xn+m)O(x^n)O(x^m)=O(x^{n+m})

Доказательство

Идея

Пусть Fn(x)=a(x)xnF_n(x)=a(x)x^n и Fm(x)=b(x)xmF_m(x)=b(x)x^m, где aa и bb ограничены при x→0+x\to0+.
Поскольку C≠0C\ne0, умножение и деление ограниченной функции на CC сохраняют ограниченность. Поэтому получаем равенство классов

При n<mn<m имеемFn(x)+Fm(x)=xn(a(x)+b(x)xm−n)F_n(x)+F_m(x)
=x^n\bigl(a(x)+b(x)x^{m-n}\bigr)Выражение в скобках ограничено при x→0+x\to0+.
Обратное включение следует из представления Fn=Fn+0F_n=F_n+0, где 0∈O(xm)0\in O(x^m).

Проверка

Для произведения получаемFn(x)Fm(x)=a(x)b(x)xn+mF_n(x)F_m(x)=a(x)b(x)x^{n+m}Произведение a(x)b(x)a(x)b(x) ограничено.
Обратно, функцию c(x)xn+mc(x)x^{n+m}, где cc ограничена, можно представить как произведение c(x)xn⋅xmc(x)x^n\cdot x^m.

Что и требовалось доказать