Раздел I. Введение в анализ — § 6. O-символика

Демидович — задача 659

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 659

Пусть x→+∞x\to+\infty и fn(x)=xnf_n(x)=x^n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots). Доказать, что:

1) для каждого n⩾2n\geqslant2 функция fn(x)f_n(x) растёт быстрее, чем предшествующая функция fn−1(x)f_{n-1}(x);

2) функция exe^x растёт быстрее, чем каждая из функций fn(x)f_n(x) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).
Доказано:xn−1=o(xn)(n⩾2)x^{n-1}=o(x^n)
\quad(n\geqslant2)xn=o(ex)для каждого n∈{1,2,3,…}x^n=o(e^x)
\quad\text{для каждого }n\in\{1,2,3,\ldots\}

Доказательство

Идея

Для n⩾2n\geqslant2fn(x)fn−1(x)=xnxn−1=x→+∞\frac{f_n(x)}{f_{n-1}(x)}
=\frac{x^n}{x^{n-1}}
=x\to+\inftyСледовательно, fn−1(x)=o(fn(x))f_{n-1}(x)=o(f_n(x)).
Для любого фиксированного натурального nn из разложения экспоненты при x>0x>0 следуетex⩾xn+1(n+1)!e^x\geqslant\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}Поэтомуexxn⩾x(n+1)!→+∞\frac{e^x}{x^n}
\geqslant\frac{x}{(n+1)!}
\to+\infty

Что и требовалось доказать

Демидович № 659 — решение и ответ