Стереометрическая задача

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки 𝐴,𝐵 и 𝐶, а на окружности другого основания – точка 𝐶₁, причём 𝐶𝐶₁ – образующая цилиндра, а 𝐴𝐶 – диаметр основания. Известно, что ∠ 𝐴𝐶𝐵= 30° ,𝐴𝐵 = 1,𝐶𝐶₁ = 22. a) Докажите, что угол между прямыми 𝐴𝐶₁ и 𝐵𝐶 равен 60°. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки 𝐴 и 𝐵, а на окружности другого основания – точки 𝐵₁ и 𝐶₁, причём 𝐵𝐵₁ – образующая цилиндра, а отрезок 𝐴𝐶₁ пересекает ось цилиндра. a) Докажите, что угол 𝐴𝐵𝐶₁ прямой. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если 𝐴𝐵 = 20,𝐵𝐵₁ = 15,𝐵₁𝐶₁ = 21.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A,B и C, а на окружности другого основания – точка C₁, причём CC₁ – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно, что ∠ ACB = 45°,AB = 23,CC₁ = 26. a) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°. б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.

В прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: A B=2 √(2), A D=6, A A_1=10. На рёбрах A A_1 и B B_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E: E A=3: 2 и B_1 F: F B=3: 7. Точка T — середина ребра B_1 C_1. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через точку D_1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью E F T.

B прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: A B=6 √(2), A D=10, AA_1=16. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E:E A=5: 3 и B_1 F: F B=5: 11. Точка T — середина ребра B_1 C_1. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через точку D_1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью E F T.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD=1:2. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD=2:1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 – середина ребра 𝐴_1𝐶_1. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость α, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄. a) Докажите, что плоскость α делит ребро 𝐴𝐶 пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴_1𝐶_1, считая от точки 𝐴_1, если известно, что 𝐴𝐵= 𝐴𝐴_1,𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1 лежит равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 = 3 и 𝐵𝐶 = 2. Точка 𝑀 делит ребро 𝐴_1𝐷_1 в отношении 𝐴_1𝑀 : 𝑀𝐷_1 = 1 : 2, а точка 𝐾 – середина ребра 𝐷𝐷_1. a) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐶 делит отрезок 𝐵𝐵_1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 𝑀𝐾𝐶, если ∠ 𝑀𝐾𝐶 = 90^∘ ,∠ 𝐴𝐷𝐶 = 60^∘.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1 лежит параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. На рёбрах 𝐴_1𝐵_1, 𝐵_1𝐶_1и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причём 𝐵_1𝐾 : 𝐾𝐶_1 = 1 : 2. Четырёхугольник 𝐴𝑀𝐾𝑁 — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. a) Докажите, что точка 𝑁 – середина ребра 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵C с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 — середина ребра 𝐴_1𝐶_1. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость α, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄. a) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна ребру 𝐴𝐵. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок 𝑃𝑄, считая от точки 𝑃, если известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐴_1,𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1D_1 в отношении A_1M : MD_1 = 1 : 2, а точка K — середина ребра DD_1. a) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD. б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠ MKC = 90^∘,∠ ADC = 60^∘.

Дана правильная четырёхугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1. Плоскость α проходит через вершины 𝐵_1 и 𝐷 и пересекает рёбра 𝐴𝐴_1 и 𝐶𝐶_1 в точках 𝑀 и 𝐾 соответственно. Известно, что четырёхугольник 𝑀𝐵_1𝐾𝐷 — ромб. a) Докажите, что точка 𝑀 — середина рёбра 𝐴𝐴_1. б) Найдите высоту призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1, если площадь её основания 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 3, а площадь ромба 𝑀𝐵_1𝐾𝐷 равна 6.

B правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 известно, что 𝐴𝐵 = 2. Плоскость α проходит через вершины 𝐴 и 𝐵_1 и середину 𝑀 ребра 𝐶𝐶_1. a) Докажите, что сечение призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой 𝑀𝑁 и пересекает ребро BC в точке K. a) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC= 3.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 равны 4. Точка 𝑂 — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой 𝑆𝐴 и проходящая через точку 𝑂, пересекает рёбра 𝑆𝐶 и 𝑆𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Точка 𝑁 делит ребро 𝑆𝐷 в отношении 𝑆𝑁 : 𝑁𝐷= 1 : 3. a) Докажите, что точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐶. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝑁 пересекает грань 𝑆𝐵𝐶.

В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑂 — центр основания пирамиды, точка 𝑀 — середина ребра 𝑆𝐶, точка 𝐾 делит ребро 𝐵𝐶 в отношении 𝐵𝐾 : 𝐾𝐶 = 3 : 1, а 𝐴𝐵 = 2 и 𝑆𝑂= √(14). a) Докажите, что плоскость 𝑂𝑀𝐾 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝐾 пересекает грань 𝑆𝐴𝐷.

Точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐴 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на ребре 𝑆𝐵,𝑆𝑁 : 𝑁𝐵 = 1 : 2. a) Докажите, что плоскость 𝐶𝑀𝑁 параллельна прямой 𝑆𝐷. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝐶𝑀𝑁, если все рёбра пирамиды равны 6.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM : MD = 3 : 2, BN : NC = 1 : 2. Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K. а) Докажите, что SK : KC = 6 : 1. б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ ACB = 30^∘, AB = √(2), CC_1 = 2. а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^∘. б) Найдите объём цилиндра.

B основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точка K – середина ребра A_1B_1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3. а) Докажите, что KM ⊥ AC. б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1 если AB = 6, AC = 8 и AA_1 = 3.

Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠ BAD+ ∠ ADC = 90^∘. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD. а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB = BC = CD = 4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5√(2). а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно. а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK : KC = 2 : 3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA=7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD причём AB = 2√(2), BC = 4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что P – середина отрезка BQ. б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 4.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а АВ = ВС = АС = 6 √(2) а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём DM : МА = = DN : NC = 1 : 2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.

На ребре A A_1 прямоугольного параллелепипеда A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 взята точка E так, что A_1 E:E A=1: 2, на ребре B B_1 – точка F так, что B_1 F: F B=1: 5, а точка T- середина ребра B_1 C_1. Известно, что A B=2, A D=6, A A_1=6. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через вершину D_1. б) Найдите угол между плоскостью E F T и плоскостью A A_1 B_1.