Стереометрическая задача

В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 6. а) Докажите, что плоскость (CMK) делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 16 : 9. б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью (CMK).

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, M — середина AB, K — середина SD. а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости (SBC). б) Найдите высоту пирамиды, если AB = 24, а угол между прямой MK и плоскостью основания равен 30^∘.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно. а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны. б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 6, а угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 60^∘.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно. а) Докажите, что прямые BC и MK лежат в одной плоскости. б) Найдите высоту пирамиды, если AB = 6, а угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 60^∘.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки M и K являются серединами рёбер SA и BC соответственно а) Докажите, что MK — биссектриса угла BMC. б) Найдите угол между прямыми SB и MK, если известно, что AC = 6, а SB = 8.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка P — середина ребра CC_1. Плоскость PBA_1 пересекает ребро C_1D_1 в точке Q. а) Докажите, что Q — середина C_1D_1. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью PBA_1, если объём куба равен 216.

Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP:PB=3:1. Точка Q делит пополам ребро B_1C_1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ. а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит PQ, если AA_1=5, AB=12, cos∠ ABC=35.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD=5 и BC=4. M – точка, которая делит сторону A_1D_1 в отношении 1:4, K – середина DD_1. а) Докажите, что BD∥(MCK). б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если ∠ BAD=60^∘, а ∠ CKM=90^∘.

Основанием прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является параллелограмм. На рёбрах A_1B_1, B_1C_1, BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B_1K:KC_1=1:2, а AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что N — середина BC. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 12, а её высота равна 2.

Точка D не лежит в плоскости равностороннего треугольника ABC. При этом cos∠ DAB=cos∠ DAC=0,3. а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если известно, что AB=6.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 15, а боковое ребро SA равно 23. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=SK=7. Плоскость α перпенпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

В прямоугольном параллелепипеде ACBDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB=3, AD = 4, AA_1 = 6. Через точки B_1 и D параллельно AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC_1 в точке K. а) Докажите, что K — середина CC_1. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскость α выходит из вершины B_1 и D, пересекает стороны AA_1 и CC_1 в точках M и K соответственно и является ромбом. а) Докажите, что M — середина ребра AA_1. б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник КLMN квадрат со стороной 2. AK:KC=2:3. a) Докажите, что BM:MD=2:3. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KLMN, если объем тетраэдра равен 25.

Ребро AD пирамиды DABC равно 6, а все остальные рёбра равны 5. а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC.

В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK: KA= SL: LC = 2:1 и SM = MD. a) Докажите, что плоскость KML содержит точку B. б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 21, а высота пирамиды SABCD равна 12.

ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед, все грани которого не квадраты, M — середина CD, K — середина грани BB_1CC_1, L — середина грани A_1B_1C_1D_1. Косинус угла между прямыми MD_1 и KL равен 3√(10). a) Докажите, что DC=2DD_1. б) Найдите расстояние между прямыми LK и D_1M, если объем параллелепипеда 54√(3) и угол между прямой B_1C и гранью DCC_1D_1 равен 60^∘.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B_1D, пересекает ребро BB_1 в точке K. Угол между плоскостями (ABC) и (ACK) равен 45^∘. а) Докажите, что угол KOB меньше 45^∘. б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1.

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 равна 12, а её боковое ребро равно 6. Плоскость сечения α содержит ребро BC и пересекает луч AA_1 в точке L. Угол, образованный плоскостями α и ABC, равен 60^∘. а) Докажите, что сечение призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью α — трапеция. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью α.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 6. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150^∘. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^∘. а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро AS равно 3√(10), а высота SH пирамиды равна 5√(2). Точка M — середина ребра BC, а AT — высота пирамиды, проведённая к грани SBC. а) Докажите, что точка T является серединой отрезка SM. б) Найдите расстояние между прямыми AT и SB.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 на ребре AA_1 отмечена точка E так, что A_1E:EA=3:2. Точка T — середина ребра B_1C_1, AA_1=10 и AD=6. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 — равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD_1, если AB=2√(10).

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA_1 равно √(5) . На рёбрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C_1L= 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая A_1C перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A_1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Дан прямой круговой цилиндр. На окружности нижнего основания выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1. Отрезок BB_1 является образующей цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC_1 прямой. б) Найдите величину угла между прямыми BB_1 и AC_1, если AB= 8, BB_1 = 17 √(3), B_1C_1 =15.

Через вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна 4√(3), дуга AB равна 90^∘, а хорда AB равна 8. а) Докажите, что угол между плоскостью SAB и плоскостью основания конуса равен 60^∘. б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Дана правильная четырёхугольная призма A B C D A_1 B_1 C_1 D_1. Точка L лежит на стороне CC_1, M — середина A_1B_1. Точка K делит DC таким образом, что DK=2KC. AKLM — равнобедренная трапеция. a) Докажите, что CL=2C_1L. б) Найдите объём призмы, если известно, что AA_1=7.

В прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 точка N лежит на ребре CD. Известно, что CN=2ND, AB=3AA_1, AD=2AA_1. a) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки A, C_1, N, делит ребро A_1B_1 в отношении 2:1. б) Найдите площадь сечения плоскостью α, если известно, что AA_1=1.

Дан куб A B C D A_1 B_1 C_1 D_1. Точки M и K — середины его ребер A B и B C соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A_1 M и B_1 K. a) Докажите, что плоскость α проходит через точку D. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6. а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^∘. б) Найдите расстояние между AC и BC_1.

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежи параллелограмм ABCD. На рёбрах A_1B_1, B_1C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B_1K : KC_1 = 2:5 . Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 7. а) Докажите, что точка N — середина ребра BC. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 42, а высота призмы равна 3.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AC равна 16, высота SH равна 9. Точка K — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра BC. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине. б) Найдите угол между плоскостями ABC и AQP.

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что SF:FB=AE:EC=1:5. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точки E и F перпендикулярно прямой AC, является прямоугольником. б) Точки H и M — точки пересечения плоскости α с прямыми AB и CS соответственно. Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 216.

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании, SA = 15, SB = 17, AB = 8, BC = √(15), SD = 4√(15). а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC.

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB=24, BC=7. Боковые рёбра SA=√(51), SB=√(627), SD=10. а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите угол между SC и BD.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 3:1, а на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F : FB = 3:5. Известно, что AB = 5√(2), AD =12, AA_1 =16. а) Докажите, что плоскость EFD_1 делит ребро B_1C_1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD_1 и плоскостью AA_1B_1.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 16, а боковое ребро SA равно 14. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 4, SK = 2. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B_1C_1. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 является трапецией. б) Найдите угол между плоскостью ETD_1 и плоскостью A_1B_1C_1, если известно, что AB = 3√(2), AD = 4, AA_1 = 14.

Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Точки M и N — середины рёбер AD и BC соответственно. а) Докажите, что MN является биссектрисой угла BMC. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если BD=4√(2), AC=12.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL:LB=SN:NC=1:4. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину M диагонали AC_1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=13, BC=5, AA_1=12. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D_1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A_1B_1.

Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1. Точка M — середина ребра CC_1. Через точки A_1, M и B проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренный треугольник. б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна 6 и AB=2.

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M — середина хорды BC, AC — диаметр. a) Докажите, что угол между прямой SM и плоскостью ABC равен углу между прямой AB и плоскостью SBC. б) Найдите высоту конуса, если угол между прямой AB и плоскостью SBC равен 60^∘, AC = 10, BC = 6.

В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Через вершины A_1, C_1 и середину ребра AB проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет прямоугольная трапеция. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если высота призмы равна 12, AB = 10√(2).

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 через вершины A_1, B_1 и середину ребра BC проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 13, а сторона основания равна 12.