Конусы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияФИПИ

Различные точки

𝐴,𝐵

𝐶

лежат на окружности основания конуса с вершиной

𝑆

так, что отрезок

𝐴𝐵

является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен

60^\circ

.
a) Докажите, что

\cos \angle 𝐴𝑆𝐶+ \cos \angle 𝐵𝑆𝐶 = 1,5.

б) Найдите объём тетраэдра

𝑆𝐴𝐵𝐶

, если

𝑆𝐶 = 1, \cos \angle 𝐴𝑆𝐶= \dfrac{2}{3}

Решение

а) Так как точки

A

B

- диаметрально противоположные, то

\triangle SAB

- равнобедренный, следовательно,

\angle SAB = \angle SBA = 60^\circ

как углы при основании. Значит,

\triangle SAB

- правильный,

AB = SA =SB

. При этом

SA =SC = SB

как образующие конуса. Получаем, что треугольники

SAC

SBC

равнобедренные.

По теореме косинусов в

\triangle SAC

AC^2 = SA^2 +SC^2 - 2\cdot SA \cdot SC \cdot \cos \angle ASC;

\cos \angle ASC = \frac{SA^2 + SC^2 - AC^2}{2 \cdot SA \cdot SC}= \frac{AB^2 + AB^2 - AC^2}{2 \cdot AB^2}= \frac{2AB^2 - AC^2}{2AB^2}.

Аналогично по теореме косинусов в

\triangle SBC

получаем:

\cos \angle BSC = \frac{SB^2 + SC^2 - BC^2}{2 \cdot SB \cdot SC}= \frac{2AB^2 - BC^2}{2AB^2}.

Тогда

\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = \frac{2AB^2 - AC^2}{2AB^2} + \frac{2AB^2 - BC^2}{2AB^2} = \frac{4AB^2-(AC^2+BC^2)}{2AB^2}

.
Так как

AB

- диаметр, то

\angle ACB = 90^\circ

как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Тогда

\triangle ABC

- прямоугольный и по теореме Пифагора:

AB^2=AC^2+BC^2

.
Следовательно,

\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = \frac{4AB^2-AB^2}{2AB^2} = \frac{3AB^2}{2AB^2} = \frac{3}{2}.

Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка

O

- центр основания конуса, тогда

SO

- высота конуса и тетраэдра

SABC

, так как

SO \perp ABC

SO

- высота правильного

\triangle SAB

, следовательно,

SO = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{SC\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

.
Из пункта а) получаем, что

\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = \frac{3}{2}

, тогда

\cos \angle BSC = \frac{3}{2} - \cos \angle ASC = \frac{3}{2}-\frac{2}{3} = \frac{5}{6}

.
По теореме косинусов в

\triangle SAC

AC^2 = 1+1-2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}= 2-\frac{4}{3}= \frac{2}{3} \Rightarrow AC = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.

По теореме косинусов в

\triangle SBC

BC^2 = 1+1-2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6}= 2-\frac{5}{3}= \frac{1}{3} \Rightarrow BC = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Тогда

V_{SABC}= \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot SO = \frac{1}{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{3\sqrt{6}}{36 \cdot 3} = \frac{ \sqrt{6}}{36}.

Ответ: б)

\frac{ \sqrt{6}}{36}

Похожие задачи