Различные точки A,B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60∘. a) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1,cos∠ASC=32
Решение
а) Так как точки A и B - диаметрально противоположные, то △SAB - равнобедренный, следовательно, ∠SAB=∠SBA=60∘ как углы при основании. Значит, △SAB - правильный, AB=SA=SB. При этом SA=SC=SB как образующие конуса. Получаем, что треугольники SAC и SBC равнобедренные.
По теореме косинусов в △SAC: AC2=SA2+SC2−2⋅SA⋅SC⋅cos∠ASC; cos∠ASC=2⋅SA⋅SCSA2+SC2−AC2=2⋅AB2AB2+AB2−AC2=2AB22AB2−AC2. Аналогично по теореме косинусов в △SBC получаем:
cos∠BSC=2⋅SB⋅SCSB2+SC2−BC2=2AB22AB2−BC2. Тогда cos∠ASC+cos∠BSC=2AB22AB2−AC2+2AB22AB2−BC2=2AB24AB2−(AC2+BC2). Так как AB - диаметр, то ∠ACB=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Тогда △ABC - прямоугольный и по теореме Пифагора: AB2=AC2+BC2. Следовательно,
cos∠ASC+cos∠BSC=2AB24AB2−AB2=2AB23AB2=23. Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка O - центр основания конуса, тогда SO - высота конуса и тетраэдра SABC, так как SO⊥ABC.
SO - высота правильного △SAB, следовательно, SO=2AB3=2SC3=23. Из пункта а) получаем, что cos∠ASC+cos∠BSC=23, тогда cos∠BSC=23−cos∠ASC=23−32=65. По теореме косинусов в △SAC: AC2=1+1−2⋅1⋅1⋅32=2−34=32⇒AC=32=36. По теореме косинусов в △SBC: BC2=1+1−2⋅1⋅1⋅65=2−35=31⇒BC=31=33. Тогда
VSABC=31⋅SABC⋅SO=31⋅21AC⋅BC⋅SO=61⋅36⋅33⋅23=36⋅336=366.
