В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6. а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^∘. б) Найдите расстояние между AC и BC_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 3:1, а на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F : FB = 3:5. Известно, что AB = 5√(2), AD =12, AA_1 =16. а) Докажите, что плоскость EFD_1 делит ребро B_1C_1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD_1 и плоскостью AA_1B_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что AE : EA = 5 : 2. Точка T —– середина ребра B_1C_1. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 является трапецией. б) Найдите угол между плоскостью ETD_1 и плоскостью A_1B_1C_1, если известно, что AB = 3√(2), AD = 4, AA_1 = 14.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину M диагонали AC_1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=13, BC=5, AA_1=12. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D_1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A_1B_1.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Через прямую BD_1 параллельно прямой AC проведена плоскость π, причём сечение параллелепипеда плоскостью π представляет собой ромб. а) Докажите, что ABCD – квадрат. б) Найти угол между плоскостью π и плоскостью BCC_1, если AD=4 и AA_1=6.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1, O- центр грани A_1B_1C_1D_1. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB И BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений являются их меньшими сторонами. AB и BC в 2 раза меньше соответственных больших сторон сечений. а) Доказать, что ABCD – квадрат. б) Найти угол между плоскостью BOC и CA_1.

В прямоугольном параллелепипеде A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ известны длины рёбер: A B=2 √(2), A D=6, A A₁=10. На рёбрах A A₁ и B B₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁ E: E A=3: 2 и B₁ F: F B=3: 7. Точка T -- середина ребра B₁ C₁. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через точку D₁. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью E F T.

B прямоугольном параллелепипеде A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ известны длины рёбер: A B=6 √(2), A D=10, AA₁=16. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁ E:E A=5: 3 и B₁ F: F B=5: 11. Точка T - середина ребра B₁ C₁. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через точку D₁. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью E F T.

На ребре A A₁ прямоугольного параллелепипеда A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ взята точка E так, что A₁ E:E A=1: 2, на ребре B B₁ – точка F так, что B₁ F: F B=1: 5, а точка T- середина ребра B₁ C₁. Известно, что A B=2, A D=6, A A₁=6. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через вершину D₁. б) Найдите угол между плоскостью E F T и плоскостью A A₁ B₁.