Параллелепипеды

ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед, все грани которого не квадраты, M — середина CD, K — середина грани BB_1CC_1, L — середина грани A_1B_1C_1D_1. Косинус угла между прямыми MD_1 и KL равен 3√(10). a) Докажите, что DC=2DD_1. б) Найдите расстояние между прямыми LK и D_1M, если объем параллелепипеда 54√(3) и угол между прямой B_1C и гранью DCC_1D_1 равен 60^∘.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B_1D, пересекает ребро BB_1 в точке K. Угол между плоскостями (ABC) и (ACK) равен 45^∘. а) Докажите, что угол KOB меньше 45^∘. б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 на ребре AA_1 отмечена точка E так, что A_1E:EA=3:2. Точка T — середина ребра B_1C_1, AA_1=10 и AD=6. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 — равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD_1, если AB=2√(10).

В прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 точка N лежит на ребре CD. Известно, что CN=2ND, AB=3AA_1, AD=2AA_1. a) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки A, C_1, N, делит ребро A_1B_1 в отношении 2:1. б) Найдите площадь сечения плоскостью α, если известно, что AA_1=1.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6. а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^∘. б) Найдите расстояние между AC и BC_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 3:1, а на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F : FB = 3:5. Известно, что AB = 5√(2), AD =12, AA_1 =16. а) Докажите, что плоскость EFD_1 делит ребро B_1C_1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD_1 и плоскостью AA_1B_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B_1C_1. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 является трапецией. б) Найдите угол между плоскостью ETD_1 и плоскостью A_1B_1C_1, если известно, что AB = 3√(2), AD = 4, AA_1 = 14.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину M диагонали AC_1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=13, BC=5, AA_1=12. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D_1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A_1B_1.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Через прямую BD_1 параллельно прямой AC проведена плоскость π, причём сечение параллелепипеда плоскостью π представляет собой ромб. а) Докажите, что ABCD — квадрат. б) Найти угол между плоскостью π и плоскостью BCC_1, если AD=4 и AA_1=6.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1, O- центр грани A_1B_1C_1D_1. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB И BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений являются их меньшими сторонами. AB и BC в 2 раза меньше соответственных больших сторон сечений. а) Доказать, что ABCD — квадрат. б) Найти угол между плоскостью BOC и CA_1.

В прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: A B=2 √(2), A D=6, A A_1=10. На рёбрах A A_1 и B B_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E: E A=3: 2 и B_1 F: F B=3: 7. Точка T — середина ребра B_1 C_1. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через точку D_1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью E F T.

B прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: A B=6 √(2), A D=10, AA_1=16. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E:E A=5: 3 и B_1 F: F B=5: 11. Точка T — середина ребра B_1 C_1. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через точку D_1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью E F T.

На ребре A A_1 прямоугольного параллелепипеда A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 взята точка E так, что A_1 E:E A=1: 2, на ребре B B_1 – точка F так, что B_1 F: F B=1: 5, а точка T- середина ребра B_1 C_1. Известно, что A B=2, A D=6, A A_1=6. а) Докажите, что плоскость E F T проходит через вершину D_1. б) Найдите угол между плоскостью E F T и плоскостью A A_1 B_1.