Параллелепипеды

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. На середине ребра BC взята точка M. Через точки A, M и C_1 проведена плоскость α, пересекающая ребро A_1D_1 в точке K. а) Докажите, что AC_1 ⊥ KM. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если объём куба равен 8.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки K, P, M - центры граней AA_1B_1B, BB_1C_1C, ABCD соответственно. а) Докажите, что D_1KPM- правильная пирамида. б) Найдите объём этой пирамиды, если ребро куба равно 24.

На рёбрах DD_1 и BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 10, B_1Q = 4. Плоскость A_1PQ пересекает ребро CC_1 в точке M. а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC_1. б) Найдите расстояние от точки C_1 до плоскости A_1PQ.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка P – середина ребра CC_1. Плоскость PBA_1 пересекает ребро C_1D_1 в точке Q. а) Докажите, что Q – середина C_1D_1. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью PBA_1, если объём куба равен 216.

В прямоугольном параллелепипеде ACBDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB=3, AD = 4, AA_1 = 6. Через точки B_1 и D параллельно AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC_1 в точке K. а) Докажите, что K – середина CC_1. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.