В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6. а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^∘. б) Найдите расстояние между AC и BC_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 3:1, а на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F : FB = 3:5. Известно, что AB = 5√(2), AD =12, AA_1 =16. а) Докажите, что плоскость EFD_1 делит ребро B_1C_1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD_1 и плоскостью AA_1B_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что AE : EA = 5 : 2. Точка T —– середина ребра B_1C_1. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 является трапецией. б) Найдите угол между плоскостью ETD_1 и плоскостью A_1B_1C_1, если известно, что AB = 3√(2), AD = 4, AA_1 = 14.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину M диагонали AC_1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=13, BC=5, AA_1=12. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D_1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A_1B_1.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Через прямую BD_1 параллельно прямой AC проведена плоскость π, причём сечение параллелепипеда плоскостью π представляет собой ромб. а) Докажите, что ABCD – квадрат. б) Найти угол между плоскостью π и плоскостью BCC_1, если AD=4 и AA_1=6.