В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 на ребре AA_1 отмечена точка E так, что A_1E:EA=3:2. Точка T – середина ребра B_1C_1, AA_1=10 и AD=6. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 – равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD_1, если AB=2√(10).

В прямоугольном параллелепипеде A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 точка N лежит на ребре CD. Известно, что CN=2ND, AB=3AA_1, AD=2AA_1. a) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки A, C_1, N, делит ребро A_1B_1 в отношении 2:1. б) Найдите площадь сечения плоскостью α, если известно, что AA_1=1.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6. а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^∘. б) Найдите расстояние между AC и BC_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 3:1, а на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F : FB = 3:5. Известно, что AB = 5√(2), AD =12, AA_1 =16. а) Докажите, что плоскость EFD_1 делит ребро B_1C_1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD_1 и плоскостью AA_1B_1.

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 5 : 2. Точка T —– середина ребра B_1C_1. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD_1 является трапецией. б) Найдите угол между плоскостью ETD_1 и плоскостью A_1B_1C_1, если известно, что AB = 3√(2), AD = 4, AA_1 = 14.