Стереометрия: В основании правильной треугольной пирамиды... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаФИПИ

В основании правильной треугольной пирамиды

ABCD

лежит треугольник

ABC

со стороной, равной

6

. Боковое ребро пирамиды равно

5

. На ребре

AD

отмечена точка

T

так, что

AT : TD=2:1

. Через точку

T

параллельно прямым

AC

BD

проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

Решение

а)
Так как искомое сечение параллельно прямым

AC

BD

, то оно будет пересекать плоскости, в которых лежат прямые

AC

BD

, по прямым, соответственно параллельным этим двум. Отсюда вытекает построение сечения.
1) Проведём через точку

T

(грань

ACD

) прямую, параллельную

AC

; она пересекает ребро

CD

в точке

L

.
2) Проведём через точку

T

(грань

ABD

) прямую, параллельную

BD

; она пересекает ребро

AB

в точке

K

.
3) Проведём через точку

K

(грань

ABC

) прямую, параллельную

AC

, она пересекает ребро

BC

в точке

F

. Получаем, что четырёхугольник

TKFL

— искомое сечение.

Рисунок 1 к решению задачи №15: Пирамиды

4) Из построения ясно, что

TL \parallel AC \parallel KF

TK \parallel BD

. Имеем:

BD\parallel (TKL)

BD \subset (BCD)

(TKL)\cap(BCD)=LF

, значит,

LF \parallel BD

по свойству параллельных прямой и плоскости, следовательно,

LF \parallel TK

TKFL

— параллелограмм.

5) Проведём высоты

DH

BH

в равнобедренных треугольниках

ADC

ABC

соответственно. Отрезки

DH

BH

также будут и медианами, поэтому

H

— середина стороны

AC

основания.

6) Тогда

AC \perp DH

AC \perp BH

, откуда получаем, что

AC \perp (BDH)

.

7) Так как

AC \parallel KF

, то

KF \perp (BDH)

, следовательно,

KF

будет перпендикулярна любой прямой плоскости

BDH

, в том числе, прямой

BD

.

8) Выше получили, что

KF \perp BD

, а

BD \parallel TK

, тогда

KF \perp TK

TKFL

— прямоугольник, ч.т.д.

б)

Рисунок 2 к решению задачи №15: Пирамиды

\angle A

— общий угол для

\triangle ATK

\triangle ADB

, а

\angle ATK=\angle ADB

как соответственные при

TK\parallel BD

и секущей

AD

, следовательно,

\triangle ATK \sim \triangle ADB

.
2) Тогда

\dfrac{TK}{BD}=\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AT}{AD}=\dfrac{2}{3}\ \Rightarrow \ TK=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}\cdot 5=\dfrac{10}{3}

, а

AK=\dfrac{2}{3}AB

.
Значит,

BK=AB-AK=\dfrac{1}{3}AB.

\angle B

— общий угол для

\triangle BKF

\triangle BAC

, а

\angle BKF=\angle BAC

как соответственные при

KF\parallel AC

и секущей

AB

, следовательно,

\triangle BKF \sim \triangle BAC

.

4) Из подобия получаем, что

\dfrac{KF}{AC}=\dfrac{KB}{AB}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \ KF=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}\cdot 6=2.

5) Тогда

S_{TKFL}=TK\cdot KF=\dfrac{10}{3}\cdot 2=\dfrac{20}{3}

.
Ответ: б)

\dfrac{20}{3}

Стереометрия: В основании правильной треугольной пирамиды... — задача

Похожие задачи