Пирамиды

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки M и K являются серединами рёбер SA и BC соответственно а) Докажите, что MK — биссектриса угла BMC. б) Найдите угол между прямыми SB и MK, если известно, что AC = 6, а SB = 8.

Точка D не лежит в плоскости равностороннего треугольника ABC. При этом cos∠ DAB=cos∠ DAC=0,3. а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если известно, что AB=6.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 15, а боковое ребро SA равно 23. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=SK=7. Плоскость α перпенпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник КLMN квадрат со стороной 2. AK:KC=2:3. a) Докажите, что BM:MD=2:3. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KLMN, если объем тетраэдра равен 25.

Ребро AD пирамиды DABC равно 6, а все остальные рёбра равны 5. а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC.

В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK: KA= SL: LC = 2:1 и SM = MD. a) Докажите, что плоскость KML содержит точку B. б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 21, а высота пирамиды SABCD равна 12.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 6. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150^∘. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^∘. а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро AS равно 3√(10), а высота SH пирамиды равна 5√(2). Точка M — середина ребра BC, а AT — высота пирамиды, проведённая к грани SBC. а) Докажите, что точка T является серединой отрезка SM. б) Найдите расстояние между прямыми AT и SB.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AC равна 16, высота SH равна 9. Точка K — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра BC. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине. б) Найдите угол между плоскостями ABC и AQP.

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что SF:FB=AE:EC=1:5. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точки E и F перпендикулярно прямой AC, является прямоугольником. б) Точки H и M — точки пересечения плоскости α с прямыми AB и CS соответственно. Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 216.

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании, SA = 15, SB = 17, AB = 8, BC = √(15), SD = 4√(15). а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC.

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB=24, BC=7. Боковые рёбра SA=√(51), SB=√(627), SD=10. а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите угол между SC и BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 16, а боковое ребро SA равно 14. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 4, SK = 2. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Точки M и N — середины рёбер AD и BC соответственно. а) Докажите, что MN является биссектрисой угла BMC. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если BD=4√(2), AC=12.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL:LB=SN:NC=1:4. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD=1:2. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD=2:1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой 𝑀𝑁 и пересекает ребро BC в точке K. a) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC= 3.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 равны 4. Точка 𝑂 — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой 𝑆𝐴 и проходящая через точку 𝑂, пересекает рёбра 𝑆𝐶 и 𝑆𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Точка 𝑁 делит ребро 𝑆𝐷 в отношении 𝑆𝑁 : 𝑁𝐷= 1 : 3. a) Докажите, что точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐶. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝑁 пересекает грань 𝑆𝐵𝐶.

В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑂 — центр основания пирамиды, точка 𝑀 — середина ребра 𝑆𝐶, точка 𝐾 делит ребро 𝐵𝐶 в отношении 𝐵𝐾 : 𝐾𝐶 = 3 : 1, а 𝐴𝐵 = 2 и 𝑆𝑂= √(14). a) Докажите, что плоскость 𝑂𝑀𝐾 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝐾 пересекает грань 𝑆𝐴𝐷.

Точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐴 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на ребре 𝑆𝐵,𝑆𝑁 : 𝑁𝐵 = 1 : 2. a) Докажите, что плоскость 𝐶𝑀𝑁 параллельна прямой 𝑆𝐷. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝐶𝑀𝑁, если все рёбра пирамиды равны 6.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM : MD = 3 : 2, BN : NC = 1 : 2. Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K. а) Докажите, что SK : KC = 6 : 1. б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов

Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠ BAD+ ∠ ADC = 90^∘. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD. а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB = BC = CD = 4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5√(2). а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно. а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK : KC = 2 : 3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA=7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD причём AB = 2√(2), BC = 4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что P – середина отрезка BQ. б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 4.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а АВ = ВС = АС = 6 √(2) а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём DM : МА = = DN : NC = 1 : 2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.