Призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 равна 12, а её боковое ребро равно 6. Плоскость сечения α содержит ребро BC и пересекает луч AA_1 в точке L. Угол, образованный плоскостями α и ABC, равен 60^∘. а) Докажите, что сечение призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью α — трапеция. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью α.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA_1 равно √(5) . На рёбрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C_1L= 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая A_1C перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A_1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Дана правильная четырёхугольная призма A B C D A_1 B_1 C_1 D_1. Точка L лежит на стороне CC_1, M — середина A_1B_1. Точка K делит DC таким образом, что DK=2KC. AKLM — равнобедренная трапеция. a) Докажите, что CL=2C_1L. б) Найдите объём призмы, если известно, что AA_1=7.

Дан куб A B C D A_1 B_1 C_1 D_1. Точки M и K — середины его ребер A B и B C соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A_1 M и B_1 K. a) Докажите, что плоскость α проходит через точку D. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежи параллелограмм ABCD. На рёбрах A_1B_1, B_1C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B_1K : KC_1 = 2:5 . Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 7. а) Докажите, что точка N — середина ребра BC. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 42, а высота призмы равна 3.

Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1. Точка M — середина ребра CC_1. Через точки A_1, M и B проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренный треугольник. б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна 6 и AB=2.

В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Через вершины A_1, C_1 и середину ребра AB проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет прямоугольная трапеция. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если высота призмы равна 12, AB = 10√(2).

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 через вершины A_1, B_1 и середину ребра BC проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 13, а сторона основания равна 12.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 – середина ребра 𝐴_1𝐶_1. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость α, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄. a) Докажите, что плоскость α делит ребро 𝐴𝐶 пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴_1𝐶_1, считая от точки 𝐴_1, если известно, что 𝐴𝐵= 𝐴𝐴_1,𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1 лежит равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 = 3 и 𝐵𝐶 = 2. Точка 𝑀 делит ребро 𝐴_1𝐷_1 в отношении 𝐴_1𝑀 : 𝑀𝐷_1 = 1 : 2, а точка 𝐾 – середина ребра 𝐷𝐷_1. a) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐶 делит отрезок 𝐵𝐵_1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 𝑀𝐾𝐶, если ∠ 𝑀𝐾𝐶 = 90^∘ ,∠ 𝐴𝐷𝐶 = 60^∘.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1 лежит параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. На рёбрах 𝐴_1𝐵_1, 𝐵_1𝐶_1и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причём 𝐵_1𝐾 : 𝐾𝐶_1 = 1 : 2. Четырёхугольник 𝐴𝑀𝐾𝑁 — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. a) Докажите, что точка 𝑁 – середина ребра 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵C с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 — середина ребра 𝐴_1𝐶_1. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость α, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄. a) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна ребру 𝐴𝐵. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок 𝑃𝑄, считая от точки 𝑃, если известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐴_1,𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1D_1 в отношении A_1M : MD_1 = 1 : 2, а точка K — середина ребра DD_1. a) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD. б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠ MKC = 90^∘,∠ ADC = 60^∘.

Дана правильная четырёхугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1. Плоскость α проходит через вершины 𝐵_1 и 𝐷 и пересекает рёбра 𝐴𝐴_1 и 𝐶𝐶_1 в точках 𝑀 и 𝐾 соответственно. Известно, что четырёхугольник 𝑀𝐵_1𝐾𝐷 — ромб. a) Докажите, что точка 𝑀 — середина рёбра 𝐴𝐴_1. б) Найдите высоту призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_1𝐵_1𝐶_1𝐷_1, если площадь её основания 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 3, а площадь ромба 𝑀𝐵_1𝐾𝐷 равна 6.

B правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 известно, что 𝐴𝐵 = 2. Плоскость α проходит через вершины 𝐴 и 𝐵_1 и середину 𝑀 ребра 𝐶𝐶_1. a) Докажите, что сечение призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴_1𝐵_1𝐶_1 плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

B основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точка K – середина ребра A_1B_1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3. а) Докажите, что KM ⊥ AC. б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1 если AB = 6, AC = 8 и AA_1 = 3.