В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах А_1В_1, В_1С_1, и ВС отмечены точки М, К и N соответственно, причём В_1К: КС_1 = 1:5. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 3. а) Докажите, что точка N — середина ребра ВС. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 72, а высота призмы равна 4.

Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1. Точка M – середина ребра CC_1. Через точки A_1, M и B проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренный треугольник. б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна 6 и AB=2.

В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Через вершины A_1, C_1 и середину ребра AB проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет прямоугольная трапеция. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если высота призмы равна 12, AB = 10√(2).

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 через вершины A_1, B_1 и середину ребра BC проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 13, а сторона основания равна 12.

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴₁𝐵₁𝐶₁ лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 – середина ребра 𝐴₁𝐶₁. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость α, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄. a) Докажите, что плоскость α делит ребро 𝐴𝐶 пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴₁𝐶₁, считая от точки 𝐴₁, если известно, что 𝐴𝐵= 𝐴𝐴₁,𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.