В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA_1 равно √(5) . На рёбрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C_1L= 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая AC_1 перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой —– точка A_1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Дана правильная четырёхугольная призма A B C D A_1 B_1 C_1 D_1. Точка L лежит на стороне CC_1, M – середина A_1B_1. Точка K делит DC таким образом, что DK=2KC. AKLM – равнобедренная трапеция. a) Докажите, что CL=2C_1L. б) Найдите объём призмы, если известно, что AA_1=7.

Дан куб A B C D A_1 B_1 C_1 D_1. Точки M и K – середины его ребер A B и B C соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A_1 M и B_1 K. a) Докажите, что плоскость α проходит через точку D. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах А_1В_1, В_1С_1, и ВС отмечены точки М, К и N соответственно, причём В_1К: КС_1 = 1:5. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 3. а) Докажите, что точка N — середина ребра ВС. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 72, а высота призмы равна 4.

Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1. Точка M – середина ребра CC_1. Через точки A_1, M и B проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренный треугольник. б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна 6 и AB=2.