Призмы

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA_1 и CC_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1. а) Докажите, что плоскость MNB_1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны. б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP:PB=3:1. Точка Q делит пополам ребро B_1C_1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ. а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит PQ, если AA_1=5, AB=12, cos∠ ABC=35.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD=5 и BC=4. M – точка, которая делит сторону A_1D_1 в отношении 1:4, K – середина DD_1. а) Докажите, что BD∥(MCK). б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если ∠ BAD=60^∘, а ∠ CKM=90^∘.

Основанием прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является параллелограмм. На рёбрах A_1B_1, B_1C_1, BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B_1K:KC_1=1:2, а AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что N — середина BC. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 12, а её высота равна 2.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскость α выходит из вершины B_1 и D, пересекает стороны AA_1 и CC_1 в точках M и K соответственно и является ромбом. а) Докажите, что M – середина ребра AA_1. б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.