Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2194

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2194

Показать, что разрывная функцияf(x)={sgn⁡(sin⁡πx),0<x≤1,0,x=0,f(x)=\begin{cases}
\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right),&0<x\le1,\\
0,&x=0,
\end{cases}интегрируема на промежутке [0,1][0,1].
Доказано:Данная функция интегрируема на [0;1][0;1] после произвольного доопределения в точке x=0x=0.

Доказательство

В точке x=0x=0 выражение под знаком функции не определено. Доопределим f(0)=0f(0)=0; изменение значения в одной точке не влияет на интегрируемость.

Функция ограничена:∣f(x)∣⩽1|f(x)|\leqslant1На любом отрезке [δ;1][\delta;1], где δ>0\delta>0, она имеет лишь конечное число точек разрыва вида x=1kx=\frac1k. Между соседними такими точками знак sin⁡πx\sin\frac\pi x постоянен. Следовательно, ff интегрируема на [δ;1][\delta;1].

Пусть ε>0\varepsilon>0. Выберем 0<δ<min⁡{1,ε4}0<\delta<\min\{1,\frac\varepsilon4\} и на [δ;1][\delta;1] возьмём разбиение, для которого разность верхней и нижней сумм Дарбу меньше ε2\frac\varepsilon2. Добавим к нему точки 00 и δ\delta. На отрезке [0;δ][0;\delta] колебание функции не превосходит 22, поэтому для объединённого разбиения PPU(f,P)−L(f,P)<2δ+ε2<εU(f,P)-L(f,P)
<2\delta+\dfrac\varepsilon2
<\varepsilonПо критерию Дарбу функция интегрируема на [0;1][0;1].

Что и требовалось доказать

Демидович № 2194 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика