Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2189

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2189

∫abdxx2\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x^2} (0<a<b)(0<a<b).
Ответ:1a−1b,0<a<b\dfrac1a-\dfrac1b,
\qquad 0<a<b

Решение

По условию 0<a<b0<a<b. Возьмём произвольное разбиениеa=x0<x1<…<xn=ba=x_0<x_1<\ldots<x_n=bи в соответствии с указанием выберем на каждом промежутке [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] точкуξi=xixi+1,i=0,1,…,n−1\xi_i=\sqrt{x_ix_{i+1}},
\qquad i=0,1,\ldots,n-1Она действительно принадлежит промежутку, поскольку при 0<xi<xi+10<x_i<x_{i+1} выполняется xi<xixi+1<xi+1x_i<\sqrt{x_ix_{i+1}}<x_{i+1}. Соответствующая интегральная сумма равнаSn=∑i=0n−1xi+1−xiξi2=∑i=0n−1xi+1−xixixi+1==∑i=0n−1(1xi−1xi+1)=1a−1b\begin{aligned}
S_n
&=\sum_{i=0}^{n-1}
\dfrac{x_{i+1}-x_i}{\xi_i^2}=\sum_{i=0}^{n-1}
\dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_ix_{i+1}}=\\
&=\sum_{i=0}^{n-1}
\left(\dfrac1{x_i}-\dfrac1{x_{i+1}}\right)=\dfrac1a-\dfrac1b
\end{aligned}Сумма получилась телескопической и не зависит от разбиения. Переходя к пределу по любой последовательности разбиений, для которой максимальная длина промежутка стремится к нулю, получаем∫abdxx2=1a−1b\int_a^b\dfrac{dx}{x^2}
=\dfrac1a-\dfrac1b
Демидович № 2189 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика