Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2183

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2183

Найти нижнюю интегральную сумму для функции f(x)=x4f(x)=x^4 на сегменте [1,2][1,2], разбивая этот сегмент на nn частей, длины которых образуют геометрическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы при n→∞n\to\infty?
Ответ:Sn=3121n−125n−1,lim⁡n→∞Sn=315S_n=31\dfrac{2^{\frac1n}-1}{2^{\frac5n}-1},
\qquad
\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{31}{5}

Решение

Функция f(x)=x4f(x)=x^4 возрастает на [1,2][1,2]. Выберем точки разбиения в виде геометрической прогрессииxi=2in,i=0,1,…,nx_i=2^{\frac{i}{n}},
\qquad i=0,1,\ldots,nДействительно, x0=1x_0=1 и xn=2x_n=2. Если q=21nq=2^{\frac1n}, то xi=qix_i=q^i, а длина ii-го промежутка равнаΔxi=xi+1−xi=qi(q−1)\begin{aligned}
\Delta x_i
&=x_{i+1}-x_i=q^i(q-1)
\end{aligned}Длины промежутков образуют геометрическую прогрессию со знаменателем qq. Функция возрастает, поэтому на [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] имеемinf⁡f(x)=f(xi)=xi4=q4i\inf f(x)=f(x_i)=x_i^4=q^{4i}Нижняя интегральная сумма равнаSn=∑i=0n−1xi4Δxi=(q−1)∑i=0n−1q5i==(q−1)q5n−1q5−1=31q−1q5−1\begin{aligned}
S_n
&=\sum_{i=0}^{n-1}x_i^4\Delta x_i=(q-1)\sum_{i=0}^{n-1}q^{5i}=\\
&=(q-1)\dfrac{q^{5n}-1}{q^5-1}=31\dfrac{q-1}{q^5-1}
\end{aligned}Здесь использовано равенство q5n=25=32q^{5n}=2^5=32. Кроме того,max⁡iΔxi=Δxn−1=2(1−2−1n)⟶0\max_i\Delta x_i
=\Delta x_{n-1}
=2\left(1-2^{-\frac1n}\right)
\longrightarrow 0Поэтому данная последовательность разбиений допустима. Посколькуq5−1q−1=1+q+q2+q3+q4⟶5\dfrac{q^5-1}{q-1}
=1+q+q^2+q^3+q^4
\longrightarrow 5при n→∞n\to\infty и q=21n→1q=2^{\frac1n}\to1, получаемlim⁡n→∞Sn=315\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{31}{5}
Демидович № 2183 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика