Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2184

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исходя из определения интеграла, найти

\int_0^T(v_0+gt)\,dt,

где

T

v_0

g

постоянны.

Ответ:

\int_0^T(v_0+gt)\,dt =v_0T+\dfrac{gT^2}{2}

Решение

Сначала считаем

T>0

. Разобьём отрезок

[0,T]

на

n

равных частей и выберем левые концы промежутков:

t_i=\dfrac{Ti}{n}, \qquad \Delta t=\dfrac{T}{n}, \qquad i=0,1,\ldots,n

Интегральная сумма для функции

f(t)=v_0+gt

равна

\begin{aligned} S_n &=\sum_{i=0}^{n-1} \left(v_0+g\dfrac{Ti}{n}\right)\dfrac{T}{n}=\\ &=v_0T+\dfrac{gT^2}{n^2}\sum_{i=0}^{n-1}i=v_0T+\dfrac{gT^2(n-1)}{2n}\end{aligned}

По определению определённого интеграла

\begin{aligned} \int_0^T(v_0+gt)\,dt &=\lim_{n\to\infty}S_n=\\ &=v_0T+\dfrac{gT^2}{2}\end{aligned}

При

T=0

и интеграл, и выражение справа равны нулю. Если

T<0

, изменим порядок пределов, а затем положим

u=-t

dt=-du

. При этом

t=T

переходит в

u=-T

, а

t=0

— в

u=0

. После перестановки новых пределов получаем:

\begin{aligned} \int_0^T(v_0+gt)\,dt &=-\int_T^0(v_0+gt)\,dt=\\ &=-\int_0^{-T}(v_0-gu)\,du=\\ &=-\left(v_0(-T)-\dfrac{g(-T)^2}{2}\right)=v_0T+\dfrac{gT^2}{2}\end{aligned}