Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2196

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2196

Показать, что функцияf(x)=1x−[1x],если x≠0f(x)=\frac1x-\left[\frac1x\right],\quad\text{если }x\ne0и f(0)=0f(0)=0, интегрируема на сегменте [0,1][0,1].
Доказано:Функция интегрируема на отрезке [0;1][0;1].

Доказательство

По условиюf(0)=0,f(x)=1x−[1x]при x≠0f(0)=0,
\qquad
f(x)=\dfrac1x-\left[\dfrac1x\right]
\quad\text{при }x\ne0При x≠0x\ne0 функция является дробной частью числа 1x\frac1x, поэтому0⩽f(x)<10\leqslant f(x)<1На отрезке [δ;1][\delta;1], где δ>0\delta>0, точки разрыва могут иметь только вид x=1mx=\frac1m. Условие 1m⩾δ\frac1m\geqslant\delta оставляет лишь конечное число таких точек. В остальных точках целая часть [1x]\left[\frac1x\right] локально постоянна, поэтому ff непрерывна. Следовательно, ff интегрируема на каждом отрезке [δ;1][\delta;1].

Пусть ε>0\varepsilon>0. Выберем 0<δ<min⁡{1,ε2}0<\delta<\min\{1,\frac\varepsilon2\} и разбиение отрезка [δ;1][\delta;1], для которого разность сумм Дарбу меньше ε2\frac\varepsilon2. После добавления отрезка [0;δ][0;\delta] получаем разбиение PP всего отрезка [0;1][0;1]. Колебание ff на [0;δ][0;\delta] не превосходит единицы, поэтомуU(f,P)−L(f,P)<δ+ε2<εU(f,P)-L(f,P)
<\delta+\dfrac\varepsilon2
<\varepsilonПо критерию Дарбу функция интегрируема на [0;1][0;1].

Что и требовалось доказать

Демидович № 2196 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика