Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2201

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть функция

f(x)

абсолютно интегрируема на сегменте

[a,b]

, т. е. интеграл

\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx

существует. Является ли эта функция интегрируемой на

[a,b]

?

Рассмотреть пример:

f(x)=\begin{cases}1,&\text{если }x\text{ рационально};\\-1,&\text{если }x\text{ иррационально}.\end{cases}

Ответ:Нет, из интегрируемости

|f(x)|

интегрируемость

f(x)

по Риману в общем случае не следует.

Решение

Рассмотрим указанный в условии пример на невырожденном отрезке

[a,b]

, где

a<b

. Для всех

x\in[a,b]

имеем

|f(x)|=1

Следовательно, функция

|f(x)|

интегрируема и

\int_a^b|f(x)|\,dx=b-a

Проверим интегрируемость

f

. В каждом промежутке есть рациональные и иррациональные точки. Поэтому нижняя и верхняя грани функции на нём равны

-1

1

.

Для любого разбиения

P:\quad a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b

получаем

\begin{aligned} L(f,P) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)(x_i-x_{i-1})=-(b-a)\\ U(f,P) &=\sum_{i=1}^{n}(x_i-x_{i-1})=b-a\end{aligned}

Таким образом, для любого разбиения

U(f,P)-L(f,P)=2(b-a)>0

Верхний и нижний интегралы не совпадают, поэтому

f

не интегрируема по Риману. Значит, существование интеграла от

|f|

в общем случае не влечёт интегрируемость

f