Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2203

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2203

Если функции f(x)f(x) и φ(x)\varphi(x) интегрируемы, то обязательно функция f(φ(x))f(\varphi(x)) также интегрируема?

Рассмотреть пример:f(x)={0,если x=0;1,если x≠0,f(x)=\begin{cases}0,&\text{если }x=0;\\1,&\text{если }x\ne0,\end{cases}и φ(x)\varphi(x) --- функция Римана (см. задачу 2195).
Ответ:Нет. Для функций, указанных в условии, композиция f(φ(x))f(\varphi(x)) является функцией Дирихле и не интегрируема по Риману.

Решение

Рассмотрим указанные в условии функции на отрезке [0,1][0,1]. Функция ff равна единице во всех точках, кроме точки 00. Она интегрируема по Риману. Действительно, возьмём разбиение, для которого x0=0x_0=0 и 0<x1<ε0<x_1<\varepsilon. Колебание ff равно единице только на первом промежутке, поэтомуU(f,P)−L(f,P)=x1<εU(f,P)-L(f,P)=x_1<\varepsilonФункция Римана φ\varphi принимает значение 1q\frac1q в рациональной точке pq\frac pq, записанной в несократимом виде, и значение 00 в иррациональной точке. Кратко проверим её интегрируемость. В каждом промежутке есть иррациональная точка, поэтому все нижние суммы равны нулю. Для заданного ε>0\varepsilon>0 выберем NN с 1N<ε2\frac1N<\frac\varepsilon2. Рациональных точек со знаменателями q⩽Nq\leqslant N на [0,1][0,1] конечное число. Покроем их открытыми интервалами общей длины меньше ε2\frac\varepsilon2 и внесём границы покрытия в разбиение. Внутри покрытия используем φ⩽1\varphi\leqslant1, а вне него — φ⩽1N\varphi\leqslant\frac1N. Верхняя сумма тогда меньше ε2+1N<ε\frac\varepsilon2+\frac1N<\varepsilon. По критерию Дарбу φ\varphi интегрируема. При этомφ(x)=0⟺x иррационально\varphi(x)=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\ \text{иррационально}Если xx рационально, то φ(x)>0\varphi(x)>0. Следовательно,f(φ(x))={1,x рационально0,x иррациональноf(\varphi(x))=
\begin{cases}
1, & x\text{ рационально}\\
0, & x\text{ иррационально}
\end{cases}Получена функция Дирихле. На каждом промежутке её нижняя грань равна нулю, а верхняя грань равна единице. Поэтому при любом разбиенииL(f∘φ,P)=0,U(f∘φ,P)=1L(f\circ\varphi,P)=0,
\qquad
U(f\circ\varphi,P)=1Эта функция не интегрируема по Риману. Таким образом, интегрируемость ff и φ\varphi не гарантирует интегрируемость композиции f(φ(x))f(\varphi(x)).
Демидович № 2203 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика