Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2181

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегральную сумму

S_n

для функции

f(x)=1+x

на сегменте

[-1,4]

, разбивая его на

n

равных промежутков и выбирая значения аргумента

\xi_i

(i=0,1,\dots,n-1)

в серединах этих промежутков.

Ответ:

S_n=\dfrac{25}{2}

Решение

Разобьём отрезок

[-1,4]

на

n

равных частей. Длина каждого промежутка и точки разбиения равны

\Delta x=\dfrac5n, \qquad x_i=-1+\dfrac{5i}{n}, \qquad i=0,1,\ldots,n

По условию точку

\xi_i

выбираем в середине промежутка

[x_i,x_{i+1}]

. Поэтому

\begin{aligned} \xi_i &=\dfrac{x_i+x_{i+1}}2=-1+\dfrac{5(2i+1)}{2n}, \qquad i=0,1,\ldots,n-1\end{aligned}

Тогда

f(\xi_i)=1+\xi_i=\dfrac{5(2i+1)}{2n}

Интегральная сумма имеет вид

\begin{aligned} S_n &=\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x=\dfrac{25}{2n^2}\sum_{i=0}^{n-1}(2i+1)\end{aligned}

Сумма первых

n

нечётных натуральных чисел равна

n^2

. Следовательно,

S_n=\dfrac{25}{2n^2}\,n^2=\dfrac{25}{2}