Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2185

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2185

\displaystyle\int_{-1}^2x^2\,dx

Ответ:

3

Решение

По общему условию блока вычисляем интеграл непосредственно как предел интегральных сумм. Разобьём отрезок

[-1,2]

на

n

равных частей и выберем левые концы промежутков:

x_i=-1+\dfrac{3i}{n}, \qquad \Delta x=\dfrac3n, \qquad i=0,1,\ldots,n

Тогда

\begin{aligned} S_n &=\dfrac3n\sum_{i=0}^{n-1} \left(-1+\dfrac{3i}{n}\right)^2=\dfrac3n\sum_{i=0}^{n-1} \left(1-\dfrac{6i}{n}+\dfrac{9i^2}{n^2}\right)\end{aligned}

Используя формулы для сумм первых степеней и квадратов, получаем

\begin{aligned} S_n &=\dfrac3n\left( n-\dfrac6n\cdot\dfrac{n(n-1)}2 +\dfrac9{n^2}\cdot\dfrac{n(n-1)(2n-1)}6 \right)=\\ &=3-\dfrac{9(n-1)}{n} +\dfrac{9(n-1)(2n-1)}{2n^2}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int_{-1}^{2}x^2\,dx &=\lim_{n\to\infty}S_n=3-9+9=3\end{aligned}