Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2186

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2186

∫01ax dx\displaystyle\int_0^1a^x\,dx (a>0)(a>0).
Ответ:∫01ax dx={a−1ln⁡a,a>0,a≠11,a=1\int_0^1a^x\,dx
=
\begin{cases}
\dfrac{a-1}{\ln a},&a>0,\quad a\ne1\\[1.2ex]
1,&a=1
\end{cases}

Решение

По условию a>0a>0. Сначала рассмотрим случай a≠1a\ne1. Разобьём отрезок [0,1][0,1] на nn равных частей и выберем левые концы:xi=in,Δx=1n,i=0,1,…,nx_i=\dfrac{i}{n},
\qquad
\Delta x=\dfrac1n,
\qquad i=0,1,\ldots,nПолучаем геометрическую прогрессию со знаменателем q=a1nq=a^{\frac1n}:Sn=1n∑i=0n−1ain=1n⋅qn−1q−1=a−1n(a1n−1)\begin{aligned}
S_n
&=\dfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}a^{\frac in}=\dfrac1n\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}=\dfrac{a-1}{n\left(a^{\frac1n}-1\right)}
\end{aligned}Так как a1n=eln⁡ana^{\frac1n}=e^{\frac{\ln a}{n}}, имеемun=ln⁡an⟶0u_n=\dfrac{\ln a}{n}
\longrightarrow0По основному пределу lim⁡u→0eu−1u=1\lim\limits_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1 получаемn(a1n−1)=n(eun−1)==ln⁡a⋅eun−1un⟶ln⁡a\begin{aligned}
n\left(a^{\frac1n}-1\right)
&=n\left(e^{u_n}-1\right)=\\
&=\ln a\cdot\dfrac{e^{u_n}-1}{u_n}
\longrightarrow\ln a
\end{aligned}Следовательно,∫01ax dx=lim⁡n→∞Sn=a−1ln⁡a\int_0^1a^x\,dx
=\lim_{n\to\infty}S_n
=\dfrac{a-1}{\ln a}Если a=1a=1, то подынтегральная функция тождественно равна единице и каждая интегральная сумма равна единице.
Демидович № 2186 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика