Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2197

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что функция Дирихле

\chi(x)=\begin{cases}0,&\text{если }x\text{ иррационально};\\1,&\text{если }x\text{ рационально},\end{cases}

не интегрируема на любом промежутке.

Доказано:Функция Дирихле не интегрируема ни на одном невырожденном отрезке.

Доказательство

Рассмотрим любой невырожденный отрезок

[a;b]

. Каждый его частичный отрезок содержит как рациональные, так и иррациональные точки. Поэтому на каждом частичном отрезке

\inf\chi(x)=0, \qquad \sup\chi(x)=1

Следовательно, для любого разбиения

P

L(\chi,P)=0, \qquad U(\chi,P)=b-a

Верхний и нижний интегралы Дарбу не совпадают, поэтому функция Дирихле не интегрируема.

Что и требовалось доказать